利用奇延拓计算 $[0, \pi]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, \pi]$ 上的非周期函数，并且，可以利用奇延拓构造出在 $[-\pi, \pi]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant \pi \\ -f(-x), & -\pi \leqslant x<0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于奇延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\cos n x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$


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$f(x)$ $\sim$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $b_{n}$ $\sin n x$

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