一个看似不可能的等价无穷小代换的应用

一、题目

已知：

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x^{2} – \ln^{2}(1+x) \Big]
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}} – e^{\sqrt{1-x^{3}}}}{e}
$$

则，$\alpha$ 与 $\beta$ 之间是什么关系？

难度评级：

二、解析

本题看似无法使用等价无穷小代换，但是，只要做适当的变形处理，就可以用等价无穷小求解出本题。

Next

对 $\alpha$ 的求解过程如下：

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x^{2} – \ln^{2}(1+x) \Big] =
$$

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \Big[ x + \ln(1+x) \Big] \cdot \Big[ x – \ln(1+x) \Big] =
$$

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} (x + x) \cdot \frac{1}{2}x^{2} =
$$

$$
\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} 2x \cdot \frac{1}{2}x^{2} = x^{3}.
$$

Next

对 $\beta$ 的求解过程如下：

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}} – e^{\sqrt{1-x^{3}}}}{e} =
$$

Next

当式子中没有可供直接使用的等价无穷小的时候，就要想办法构造出等价无穷小：

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}}(1 – e^{\sqrt{1-x^{3}}- \sqrt{1+x^{3}}})}{e} =
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{1+x^{3}}}}{e} \cdot (1 – e^{\sqrt{1-x^{3}}- \sqrt{1+x^{3}}}) =
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{1}}{e} \cdot (\sqrt{1+x^{3}} – \sqrt{1-x^{3}}) =
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{3}} – \sqrt{1-x^{3}}}{1} =
$$

Next

下面，对上式中的分子进行有理化操作：

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(\sqrt{1+x^{3}} – \sqrt{1-x^{3}})(\sqrt{1+x^{3}} + \sqrt{1-x^{3}})}{\sqrt{1+x^{3}} + \sqrt{1-x^{3}}} =
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^{3} – 1 + x^{3})}{\sqrt{1+x^{3}} + \sqrt{1-x^{3}}} =
$$

$$
\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{3}}{2} = x^{3}.
$$

Next

综上可知，$\alpha$ $=$ $x^{3}$, $\beta$ $=$ $x^{3}$, 因此：

$$
\frac{\alpha}{\beta} = 1.
$$

即，$\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小的关系。

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