一、题目
求极限 $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}$
二、解析
当题目中要求的是“极限”，而且出现了 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时就要考虑是不是要用到或者可以用到等价无穷小。
还需要考虑的可能用到的知识是洛必达法则。当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时可能产生 $\frac{0}{0}$ 型的洛必达或者 $\frac{\infty}{\infty}$ 型的洛必达。而且，洛必达法则就是为求极限而生的，可以把对函数的求极限转换成对函数的导数求极限，从而可能化简原式。
方法一
本题考查的是等价无穷小，需要用到的两个等价无穷小如下（当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时）：
$x$ $\sim$ $\sin x$;
$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.
于是有：
原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}$
令 $\sin x$ $=$ $t$, 则有：
原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}$
由于，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\sin x$ $\rightarrow$ $0$, 于是有 $t$ $\rightarrow$ $0$, 因此根据常见的等价无穷小，有：
$t$ $-$ $\sin t$ $\sim$ $\frac{1}{6}t^{3}$
因此有：
原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}$ $=$ $\frac{1}{6}$
方法二
本题也可以结合使用等价无穷小与 $\frac{0}{0}$ 型洛必达等定理解出。
需要用到的等价无穷小有（当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时）：
$x$ $\sim$ $\sin x$;
$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
需要用到的洛必达法则公式是：
$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f'(x)}{g'(x)}$
需要用到的求导规则是：
$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;
$(u-v)’$ $=$ $u’$ $-$ $v’$;
$f'(x)$ $=$ $f'[g(x)]$ $g'(x)$.
解答思路如下：
由于，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\sin x$ $\sim x$, 于是有：
原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow0}$ $\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}}$ (1)
由于，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有：
$\sin x$ $-$ $\sin(\sin x)$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数;
$x^{3}$ $\rightarrow$ $0$, 且存在导数.
因此，可以对 (1) 式使用洛必达法则：
原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]’}{(x^{3})’}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}$
化简得：
原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}$
由于，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，$\cos x$ $\rightarrow$ $1$, 因此，进一步化简得：
原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}$
使用等价无穷小进一步计算可得：
原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}$ $=$ $\frac{\frac{1}{2}}{3}$ $=$ $\frac{1}{6}$
方法一的手写作答：
方法二的手写作答：
EOF