2013 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

已知极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c,$ 其中 $k,c$ 为常数,且 $c \neq 0,$ 则 ( )

$$( A ) k=2,c=-\frac{1}{2}.$$

$$( B ) k=2,c=\frac{1}{2}.$$

$$( C ) k=3,c=-\frac{1}{3}.$$

$$( D ) k=3,c=\frac{1}{3}.$$

解析

解答本题需要用到一个等价无穷小替换:

$$x – \arcsin x \sim \frac{1}{3}x^{3}.$$

于是我们有:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{3}x^{3}}{x^{k}} = c.$$

由于 $c$ 是常数,$\frac{1}{3}x^{3}$ 是 $x^{k}$ 的同阶无穷小。

于是,$k=3,c=\frac{1}{3}.$

综上可知,正确答案是:D

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