将 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小结合记忆

一、前言

在高等数学中，有些公式在本质上是有联系的，如果我们在掌握了这种联系的基础上理解这些公式，就能记忆得更加牢固。

在本文中，荒原之梦网（zhaokaifeng.com）就利用公式间的关联关系分析如何记忆 $e^{x}$ $-$ $1$ 和 $a^{x}$ $-$ $1$ 的等价无穷小。

二、正文

我们都知道，当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，有：

$$
e^{x} – 1 \sim x
$$

Next

但事实上，上式应该是：

$$
e^{x} – 1 \sim x \ln e \quad ①
$$

$\ln e$ $=$ $1$.

Next

进而，如果将 $①$ 式中的自然常数 $e$ 换成普通实数 $a$, 也是成立的：

$$
a^{x} – 1 \sim x \ln a
$$

Next

综上，我们可以使用结合记忆的方法一次记住如下两个等价无穷小公式：

$$
e^{x} – 1 \sim x \ln e \sim x.
$$

$$
a^{x} – 1 \sim x \ln a
$$

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