要求解三次及以上导数时可以尝试使用泰勒公式

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $f(x)$ $=$ $\ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x}$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(0)$ $=$ $?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

若要查看本题的另一种解法,可以点击这里

  1. 由于泰勒公式中包含多次导数运算,因此,当题目要求解导函数在某一点处的值的时候,就可以尝试使用泰勒公式。
  2. 有关泰勒公式的相关基础知识,可以查看《用逐步简化的方法记忆泰勒公式》或《泰勒公式 | 考研数学公式学习系统

已知:

$$
f(x) = \ln \frac{1 – 2x}{1 + 3x} \Rightarrow
$$

$$
f(x) = \ln(1 – 2x) – \ln (1 + 3x)
$$

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又根据泰勒公式,当 $x \rightarrow 0$ 时,有:

$x \rightarrow 0$ 时的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

$$
f(x) =
$$

$$
\frac{f(0)}{0!} \cdot x^{0} + \frac{f^{\prime}(0)}{1!} \cdot x^{1} + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} \cdot x^{2} + \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{3!} \cdot x^{3} + \cdots \Rightarrow
$$

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进而:

$$
f(x) =
$$

$$
f(0) + f^{\prime}(0) \cdot x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2} + \frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} \cdot x^{3} + \cdots \Rightarrow
$$

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又因为:

$$
f(0) = \ln(1 – 0) – \ln(1 + 0) = 0
$$

因此:

$$
f(x) = f^{\prime}(0) \cdot x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} \cdot x^{2} + \textcolor{orange}{\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} \cdot x^{3}} + \cdots. \quad \textcolor{red}{①}
$$

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于是可以知道,只要我们对函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处进行泰勒展开,然后找出与 $\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} \cdot x^{3}$ 对应的部分,即可解出 $f^{\prime \prime \prime}(0)$.

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又有麦克劳林公式:

$$
\ln(1 + t) = t – \frac{1}{2} t^{2} + \frac{1}{3} t^{3} + \cdots
$$

于是,当 $t = -2x$ 时,有:

$$
\ln(1 – 2x) = -2x – \frac{1}{2} (-2x)^{2} + \frac{1}{3} (-2x)^{3} + \cdots
$$

于是,当 $t = 3x$ 时,有:

$$
\ln(1 + 3x) = 3x – \frac{1}{2} (3x)^{2} + \frac{1}{3} (3x)^{3} + \cdots
$$

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即:

$$
f(x) = \ln(1 – 2x) – \ln(1 + 3x) \Rightarrow
$$

$$
f(x) =
$$

$$
-2x – \frac{1}{2} (-2x)^{2} + \textcolor{orange}{\frac{1}{3} (-2x)^{3}} – 3x + \frac{1}{2} (3x)^{2} – \textcolor{orange}{\frac{1}{3} (3x)^{3}} + \cdots \quad \textcolor{red}{②}
$$

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对比 $①$ 式和 $②$ 式可得:

$$
\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} \cdot x^{3} = \frac{1}{3} (-2x)^{3} – \frac{1}{3} (3x)^{3} \Rightarrow
$$

$$
\frac{f^{\prime \prime \prime}(0)}{6} = \frac{1}{3} (-2)^{3} – \frac{1}{3} (3)^{3} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime \prime}(0) = 2 (-2)^{3} – 2 (3)^{3} = – 16 – 54 = -70.
$$


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