题目
$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} dx = ?
$$
解析
计算过程一复杂就容易弄错正负号，因此，一旦计算过程中涉及正负号，就需要格外认真仔细地去计算。
由于：
$$
(\frac{1}{1+x})^{‘} = -1 \frac{1}{(1+x)^{2}}.
$$
因此：
$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} =
$$
$$
-1 \int_{0}^{+ \infty} \ln(1+x) d(\frac{1}{1+x}) \Rightarrow 分部积分法 \Rightarrow
$$
$$
-1 [\frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} – \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx]=
$$
$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} + \int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx \Rightarrow
$$
$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} \Rightarrow
$$
当 $x \rightarrow + \infty$ 时，$\frac{\ln (1+x)}{1+x}$ 的分子和分母都趋于正无穷，因此，此时，可以尝试用洛必达法则：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x} \Rightarrow 洛必达 \Rightarrow
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{1}{1+x}=0
$$
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{\ln(1+x)}{1+x}$ 的分母趋于 $1$, 而分子趋于 $0$, 因此，此时不可以使用洛必达法则，只能直接计算：
注意：使用洛必达前一定要注意判断是否满足使用洛必达的三个条件，不是所有的情况下都可以使用洛必达法则。
于是：
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+x)}{1+x} =
$$
$$
\frac{\ln 1}{1} = \ln 1 = 0.
$$
于是：
$$
-1 \frac{\ln(1+x)}{1+x} |_{0}^{+\infty} = -[0-0]=0.
$$
又：
$$
\int_{0}^{+ \infty}\frac{1}{(1+x)^{2}}dx =
$$
$$
-1 \cdot \frac{1}{1+x} |_{0}^{+ \infty} =
$$
$$
-1 \cdot [0-1]=1.
$$
即：
$$
\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1+x)}{(1+x)^{2}} dx = 1.
$$
注意：
（1）上面的计算过程中要特别注意正负号，一定要明确当前正负号的作用范围，必要的情况下，要使用乘以 $-1$ 代替 $”-“$ 负号以使整个式子中的负号更加明显；
（2）有 $\ln$ 出现的积分式子一般都需要用到分部积分法。
综上可知，正确答案为 $1$.
EOF