一、题目
若函数
$f(x)$ $=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.$
在 $x$ $=$ $0$ 处连续，则（）
( A ) $ab$ $=$ $\frac{1}{2}$
( B ) $ab$ $=$ $-$ $\frac{1}{2}$
( C ) $ab$ $=$ $0$
( D ) $ab$ $=$ $2$
二、解析
这道题可以根据函数连续的定义解出。
函数 $f(x)$ 在某一点 $x_{0}$ 处连续的定义如下：
$\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}}$ $=$ $f(x_{0})$
因此，若函数 $f(x)$ 在 $x$ $=$ $0$ 处连续，则根据定义的话，我们需要证明：
$\lim_{x \rightarrow 0^{-}}$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $=$ $f(0)$
观察题目可知，这是一个分段函数，且当 $x$ $\in$ $(- \infty, 0]$ 时，$f(x)$ $=$ $b$. 于是，当 $x$ 从左边趋近于 $0$ 时，$f(0^{-})$ $=$ $b$.
当 $x$ 从右边趋近于 $0$ 时，适用的取值范围为 $x$ $>$ $0$, 而对应的函数值为：
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}$
根据如下的等价无穷小原则：
$1$ $-$ $\cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$
于是有：
原式 $=$ $\lim_{x \rightarrow 0^{+}}$ $\frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax}$ $=$ $\frac{1}{2a}$
为了满足上面提到的函数在一点处连续的定义，需要有：
$\frac{1}{2a}$ $=$ $b$
化简形式得：
$ab$ $=$ $\frac{1}{2}$
由此可知，选 $A$.
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