（适用于通项 $u_{n}$ 中含有 $n !$ 或关于 $n$ 的若干连乘形式.）
发散
若 $0$ $<$ $A$ $\leqslant$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散
若 $0$ $\leqslant$ $A$ $<$ $+\infty$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 之间敛散性的关系如何？
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散，则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $v_{n}$ 发散
$\sum_{n=2}^{\infty}$ $\frac{1}{n \ln ^{p} n}$ $\left\{\begin{array}{ll} 收敛, & p>1, \\ 发散, & p \leqslant 1. \end{array}\right.$
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\frac{1}{n^{p}}\left\{\begin{array}{l} 收敛, \quad p > 1, \\ 发散, p \leqslant 1 \text. \end{array}\right.$
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $a q^{n-1}$ $\left\{\begin{array}{ll} =\frac{a}{1-q}, & |q| < 1, \\ 发散, & |q| \geq 1. \end{array}\right.$
$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$
若一个级数加括号后所得的新级数发散，则，原级数发散
若一个级数加括号后所得的新级数收敛，则，原级数的敛散性不定
解释：括号具有“约束”作用，对一个级数中的项任意的添加括号可以使这个级数具备趋向于收敛的趋势（但不一定会真的收敛）。
新级数仍收敛于原级数的和
不影响
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 的敛散性不确定
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ 发散
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $u_{n}$ $\pm$ $v_{n}$ $)$ $=$ $s$ $\pm$ $\sigma$
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $c$ $\cdot$ u_{n}$ 的敛散性相同
