周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶展开式(B027)

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数,在区间 $[-l, l]$ 上可积。并且,函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开,则以下关于该函数的傅里叶展开式,正确的是哪个?

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$


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$f(x)$ $\sim$

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$


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