问题
以下关于函数 $\ln (1+x)$ 的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$[B]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$
[C]. $\ln (1+x)$ $=$ $x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$
[D]. $\ln (1+x)$ $=$ $1$ $-$ $\frac{x}{2}$ $+$ $\frac{x^{2}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n}}{n+1}$ $+$ $\cdots$
$\ln (1+x)$ $=$
$x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$ $=$
$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.
其中，$x$ $\in$ $(-1,1]$