$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
零矩阵就是矩阵内元素都为 $0$ 的矩阵，记作：$O$
$\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)$
$\begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \end{bmatrix}$
形如下面的矩阵可以被称为 $n$ 阶方阵或者 $n$ 阶矩阵，记作 $A$ 或者 $A_{n}$：
$\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right)$
且，该其次线性方程组的系数矩阵 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$
那么，当满足什么条件的时候，该线性方程组有且只有零解？
当 $D$ $\neq$ $0$ 时，该线性方程组只有零解：
$x_{1}$ $=$ $x_{2}$ $=$ $\cdots$ $=$ $x_{n}$ $=$ $0$.
其系数行列式为 $D$, 而 $D_{j}$ 则是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列用常数项代替后所得到的 $n$ 阶行列式，其中 $j$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.
则，根据克拉默法则，如果该线性方程组有唯一的解，那么，这组解该怎么表示？
$x_{1}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{1}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $x_{2}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{2}}}{\textcolor{cyan}{D}}$, $\cdots$, $x_{n}$ $=$ $\frac{\textcolor{orange}{D_{n}}}{\textcolor{cyan}{D}}$
其系数行列式为：
$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$
则，当系数行列式 $D$ 满足什么条件的时候，该线性方程组有唯一解？
$D$ $\neq$ $0$
或者：
$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0 \end{array}\right.$
则，上述线性方程组的系数行列式 $D$ $=$ $?$
$D$ $=$ $\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$
$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|$ $\neq$ $|\boldsymbol{A}|$ $+$ $|\boldsymbol{B}|$
$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{B}|$
$|\boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda_{1}$ $\times$ $\lambda_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $\lambda_{n}$
$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{n-1}$
$\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|$ $=$ $\frac{1}{|\boldsymbol{A}|}$
$\left|\boldsymbol{A}^{k}\right|$ $=$ $|\boldsymbol{A}|^{k}$
$|\boldsymbol{A B}|$ $=$ $|\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}|$ $=$ $|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|$
$|\lambda \boldsymbol{A}|$ $=$ $\lambda^{n}$ $|\boldsymbol{A}|$
