周期为 $2l$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_n$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_0$ $+$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $($ $a_n$ $\cos \frac{n\pi }{l}x$ $+$ $b_n$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_n$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_n$ $=$ $\frac{1}{l}$ ${\int }_{-l}^l$ $f(x)$ $\cos \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

[B].   $b_n$ $=$ $\frac{1}{l}$ ${\int }_{-l}^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

[C].   $b_n$ $=$ $\frac{\pi }{l}$ ${\int }_{-l}^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n}{l}x$ $\mathrm{d}x$

[D].   $b_n$ $=$ $\frac{1}{l}$ ${\int }_{-l}^l$ $f(x)$ $\sin \frac{\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$b_n$ $=$ $\frac{1}{l}$ ${\int }_{-l}^l$ $f(x)$ $\sin \frac{n\pi }{l}x$ $\mathrm{d}x$.

其中，$($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$