周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数：$b_{n}$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].   $b_{n}$ $=$ $\frac{\pi}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[B].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{\pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[C].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

[D].   $b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$

   答 案   

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{-l}^{l}$ $f(x)$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $\mathrm{~d} x$.

其中，$($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$