周期为 $2\pi$ 的一般函数的傅里叶系数：$a_n$（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_0$ $+$ $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $($ $a_n$ $\cos nx$ $+$ $b_n$ $\sin nx$ $)$.

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_n$ $=$ $?$

选项

[A].   $a_n$ $=$ $\frac{1}{\pi }$ ${\int }_{\frac{-\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $f(x)$ $\cos nx$ $\mathrm{d}x$

[B].   $a_n$ $=$ $\pi$ ${\int }_{-\pi }^{\pi }$ $f(x)$ $\cos nx$ $\mathrm{d}x$

[C].   $a_n$ $=$ $\frac{1}{\pi }$ ${\int }_{-\pi }^{\pi }$ $f(x)$ $\cos nx$ $\mathrm{d}x$

[D].   $a_n$ $=$ $\frac{1}{\pi }$ ${\int }_{-\pi }^{\pi }$ $f(x)$ $\sin nx$ $\mathrm{d}x$

   答 案   

$a_n$ $=$ $\frac{1}{\pi }$ ${\int }_{-\pi }^{\pi }$ $f(x)$ $\cos nx$ $\mathrm{d}x$.

其中，$n$ $=$ $0$, $1$, $2$, $\cdots$