幂级数的逐项积分公式（B026）

问题

已知，幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty}

a_{n}

x^{n}

和函数

f (x)

在其收敛域

I

上可积，则，根据逐项积分公式，

\int_{0}^{x}

f (t)

d t

=

?

选项

[A].

\int_{0}^{x}

f (t)

d t

=

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{a_{n}}{n} x^{n + 1}

[B].

\int_{0}^{x}

f (t)

d t

=

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{a_{n}}{n + 1} x^{n}

[C].

\int_{0}^{x}

f (t)

d t

=

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1}

[D].

\int_{0}^{x}

f (t)

d t

=

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{a_{n}}{n} x^{n}

答案

$\int_{0}^{x}$ $f (t)$ $d t$ $=$

$\int_{0}^{x}$ $($ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $)$ $d x$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $($ $\int_{0}^{x}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $d x$ $)$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n + 1} x^{n + 1}$

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