高等数学基础归档 - 第24页共56页

三重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数

f (x, y, z)

在闭合积分区域

Ω

上连续，

V

为积分区域

Ω

的体积，则，根据三重积分的中值定理，在区域

Ω

上至少存在一点

(ξ, η, ζ)

, 使得下列哪项成立？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

\cdot

\frac{1}{V}

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

+

V

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f (ξ, η, ζ)

\cdot

V

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

f [(ξ + V), (η + V), (ζ + V)]

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ $f (ξ, η, ζ)$ $\cdot$ $V$

三重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域

Ω

上恒有

f (x, y, z)

⩽

g (x, y, z)

, 则根据三重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

⩽

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

>

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

<

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

⩾

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $⩽$ $∭_{Ω}$ $g (x, y, z)$ $d v$

三重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域

Ω

的体积为

V

, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

∭_{Ω}

1

d v

=

1

[B].

∭_{Ω}

1

d v

=

V^{3}

[C].

∭_{Ω}

1

d v

=

V

[D].

∭_{Ω}

1

d v

=

\frac{1}{V}

答案

$∭_{Ω}$ $1$ $d v$ $=$ $V$

三重积分的积分区域可加的性质（B015）

问题

已知有积分区域

Ω_{1}

Ω_{2}

和

Ω

, 且

Ω_{1}

\cup

Ω_{2}

=

Ω

Ω_{1}

\cap

Ω_{2}

不能形成空间闭区域（即

Ω_{1}

和

Ω_{2}

相交但不重叠）。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

∭_{Ω_{1}}

f (x, y, z)

d v

\times

∭_{Ω_{2}}

f (x, y, z)

d v

[B].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

\frac{1}{2}

∭_{Ω_{1}}

f (x, y, z)

d v

+

\frac{1}{2}

∭_{Ω_{2}}

f (x, y, z)

d v

[C].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

∭_{Ω_{1}}

f (x, y, z)

d v

-

∭_{Ω_{2}}

f (x, y, z)

d v

[D].

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

=

∭_{Ω_{1}}

f (x, y, z)

d v

+

∭_{Ω_{2}}

f (x, y, z)

d v

答案

$∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ $∭_{Ω_{1}}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $+$ $∭_{Ω_{2}}$ $f (x, y, z)$ $d v$

三重积分被积函数的加减性质（B015）

问题

已知函数

f (x, y, z)

和函数

g (x, y, z)

都是被积函数，则，以下关于三重积分被积函数的加减性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

∭_{Ω}

[

f (x, y, z)

\pm

g (x, y, z)

]

d v

=

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

\pm

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[B].

∭_{Ω}

[

f (x, y, z)

\pm

g (x, y, z)

]

d v

=

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

\times

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

[C].

∭_{Ω}

[

f (x, y, z)

\pm

g (x, y, z)

]

d v

=

\frac{1}{2}

\cdot

[

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

\pm

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

]

[D].

∭_{Ω}

[

f (x, y, z)

\pm

g (x, y, z)

]

d v

=

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

\mp

∭_{Ω}

g (x, y, z)

d v

答案

$∭_{Ω}$ $[$ $f (x, y, z)$ $\pm$ $g (x, y, z)$ $]$ $d v$ $=$ $∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$ $\pm$ $∭_{Ω}$ $g (x, y, z)$ $d v$

三重积分中常数的性质（B015）

问题

已知

k

为常数，

Ω

为三重积分的积分区域，则以下关于常数

k

在三种积分中的运算性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

∭_{Ω}

k

f (x, y, z)

d v

=

∭_{k Ω}

f (x, y, z)

d v

[B].

∭_{Ω}

k

f (x, y, z)

d v

=

- k

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

[C].

∭_{Ω}

k

f (x, y, z)

d v

=

\frac{1}{k}

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

[D].

∭_{Ω}

k

f (x, y, z)

d v

=

k

∭_{Ω}

f (x, y, z)

d v

答案

$∭_{Ω}$ $k$ $f (x, y, z)$ $d v$ $=$ $k$ $∭_{Ω}$ $f (x, y, z)$ $d v$

积分区域关于直线 $y$ $=$ $x$ 对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域

D

关于直线

y

=

x

对称，则以下对二重积分

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

的化简，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

\iint_{D}

f (y, x)

d σ

=

\iint_{\frac{D}{2}}

(

f (x, y)

+

f (y, x)

)

d σ

[B].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

\iint_{D}

f (y, x)

d σ

=

\frac{1}{2}

\cdot

\iint_{D}

(

f (x, y)

-

f (y, x)

)

d σ

[C].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

\iint_{D}

f (y, x)

d σ

=

\iint_{D}

(

f (x, y)

+

f (y, x)

)

d σ

[D].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

\iint_{D}

f (y, x)

d σ

=

\frac{1}{2}

\cdot

\iint_{D}

(

f (x, y)

+

f (y, x)

)

d σ

答案

$\iint_{D}$ $f (x, y)$ $d σ$ $=$ $\iint_{D}$ $f (y, x)$ $d σ$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f (x, y)$ $+$ $f (y, x)$ $)$ $d σ$

积分区域关于 $y$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域

D

关于

y

轴对称，且积分区域

D_{1}

为积分区域

D

上在

x

\geq

0

的部分，则以下对二重积分

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

的化简，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (- x, y) = f (x, y) \end{cases}

[B].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f (x, y) d σ, & f (- x, y) = f (x, y) \end{cases}

[C].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 1, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (- x, y) = f (x, y) \end{cases}

[D].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (- x, y) = f (x, y) \end{cases}

答案

$\iint_{D} f (x, y) d σ$ $=$ ${\begin{cases} 0, & f (- x, y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (- x, y) = f (x, y) \end{cases}$

积分区域关于 $x$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域

D

关于

x

轴对称，且积分区域

D_{1}

为积分区域

D

上在

y

\geq

0

的部分，则以下对二重积分

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

的化简，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ \frac{1}{2} \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (x, - y) = f (x, y) \end{cases}

[B].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 1, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (x, - y) = f (x, y) \end{cases}

[C].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f (x, y) d σ, & f (x, - y) = f (x, y) \end{cases}

[D].

\iint_{D} f (x, y) d σ

=

{\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (x, - y) = f (x, y) \end{cases}

答案

$\iint_{D} f (x, y) d σ$ $=$ ${\begin{cases} 0, & f (x, - y) = - f (x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f (x, y) d σ, & f (x, - y) = f (x, y) \end{cases}$

二重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数

f (x, y)

在闭合积分区域

D

上连续，

A

为积分区域

D

的面积，则，根据二重积分的中值定理，在区域

D

上至少存在一点

(ξ, η)

, 使得下列哪项成立？

选项

[A].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

f (ξ, η)

-

A

[B].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

f (ξ, η)

+

A

[C].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

f (ξ, η)

\cdot

A

[D].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

=

f (ξ \cdot A, η \cdot A)

答案

$\iint_{D}$ $f (x, y)$ $d σ$ $=$ $f (ξ, η)$ $\cdot$ $A$

二重积分的估值定理（B014）

问题

已知

M

和

m

分别为函数

f (x, y)

在闭合的积分区域

D

上的最大值与最小值，

A

为积分区域

D

的面积，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

m \cdot A

<

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

<

M \cdot A

[B].

\frac{m}{2} \cdot A

⩽

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

⩽

\frac{M}{2} \cdot A

[C].

m \cdot A

⩾

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

⩾

M \cdot A

[D].

m \cdot A

⩽

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

⩽

M \cdot A

答案

$m \cdot A$ $⩽$ $\iint_{D}$ $f (x, y)$ $d σ$ $⩽$ $M \cdot A$

二重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域

D

上恒有

f (x, y)

⩽

g (x, y)

, 则根据二重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

⩽

\iint_{D}

g (x, y)

d σ

[B].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

>

\iint_{D}

g (x, y)

d σ

[C].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

<

\iint_{D}

g (x, y)

d σ

[D].

\iint_{D}

f (x, y)

d σ

⩾

\iint_{D}

g (x, y)

d σ

答案

$\iint_{D}$ $f (x, y)$ $d σ$ $⩽$ $\iint_{D}$ $g (x, y)$ $d σ$

二重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域

D

的面积为

A

, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D}

1

d σ

=

- A

[B].

\iint_{D}

1

d σ

=

A

[C].

\iint_{D}

1

d σ

=

A^{2}

[D].

\iint_{D}

1

d σ

=

1

答案

$\iint_{D}$ $1$ $d σ$ $=$ $A$

二重积分的积分区域可加的性质（B014）

问题

已知有积分区域

D_{1}

D_{2}

和

D

, 且

D_{1}

\cup

D_{2}

=

D

D_{1}

与

D_{2}

刚好相交但不重叠，即

D_{1}

\cap

D_{2}

为曲线。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D}

f (x, y) d σ

=

\iint_{D - D_{1}}

f (x, y) d σ

+

\iint_{D - D_{2}} f (x, y) d σ

[B].

\iint_{D}

f (x, y) d σ

=

\iint_{D_{1}}

f (x, y) d σ

\times

\iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

[C].

\iint_{D}

f (x, y) d σ

=

\iint_{D_{1}}

f (x, y) d σ

-

\iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

[D].

\iint_{D}

f (x, y) d σ

=

\iint_{D_{1}}

f (x, y) d σ

+

\iint_{D_{2}} f (x, y) d σ

答案

$\iint_{D}$ $f (x, y) d σ$ $=$ $\iint_{D_{1}}$ $f (x, y) d σ$ $+$ $\iint_{D_{2}} f (x, y) d σ$

二重积分被积函数的加减性质（B014）

问题

已知函数

f (x, y)

和函数

g (x, y)

都是被积函数，则，以下关于二重积分被积函数的加减性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\iint_{D}

[f (x, y) \pm g (x, y)]

d σ

=

\iint_{D}

f (x, y) d σ

\times

\iint_{D}

g (x, y) d σ

[B].

\iint_{D}

[f (x, y) \pm g (x, y)]

d σ

=

\iint_{\frac{D}{2}}

f (x, y) d σ

\pm

\iint_{\frac{D}{2}}

g (x, y) d σ

[C].

\iint_{D}

[f (x, y) \pm g (x, y)]

d σ

=

\iint_{D}

f (x, y) d σ

\mp

\iint_{D}

g (x, y) d σ

[D].

\iint_{D}

[f (x, y) \pm g (x, y)]

d σ

=

\iint_{D}

f (x, y) d σ

\pm

\iint_{D}

g (x, y) d σ

答案

$\iint_{D}$ $[f (x, y) \pm g (x, y)]$ $d σ$ $=$ $\iint_{D}$ $f (x, y) d σ$ $\pm$ $\iint_{D}$ $g (x, y) d σ$