积分区域关于 $x$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且积分区域 $D_1$ 为积分区域 $D$ 上在 $y$ $\ge$ $0$ 的部分，则以下对二重积分 ${\iint }_D$ $f(x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A].   ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $=$ $\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y),\\ \frac{1}{2}{\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

[B].   ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $=$ $\{\begin{array}{ll}1,& f(x,-y)=-f(x,y),\\ 2{\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

[C].   ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $=$ $\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y),\\ 2{\iint }_{\frac{D}{2}}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

[D].   ${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $=$ $\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y),\\ 2{\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$

   答 案   

${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$ $=$ $\{\begin{array}{ll}0,& f(x,-y)=-f(x,y),\\ 2{\iint }_{D_1}f(x,y)\mathrm{d}\sigma ,& f(x,-y)=f(x,y)\end{array}$