$\frac{f(b) – f(a)}{b – a}$ $=$ $f'(\xi)$
存在 $\xi$ $\in$ $(a,b)$, 使得 $f'(\xi)$ $=$ $0$.
$\begin{cases} & y” > 0 \Rightarrow y \ 凹; \\ & y” < 0 \Rightarrow y \ 凸; \\ & y” = 0 \Rightarrow y \ 不凹不凸 \end{cases}$
利用二阶导函数判断曲线凹凸性的前提是：函数在对应的闭区间内连续，在对应的开区间内二阶可导——例如，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内具有二阶导函数，此时，我们就可以利用函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ 判断其在区间 $[a, b]$ 上的凹凸性了。
$\begin{cases} & y’ > 0 \Rightarrow y \ 单调递增; \\ & y’ < 0 \Rightarrow y \ 单调递减; \\ & y’ = 0 \Rightarrow y \ 不增不减. \end{cases}$
$y”$ $=$ $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}$ $\cdot$ $(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x})$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $(\frac{b'(t)}{a'(t)})$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{2}(t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a'(t)}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$
$\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}$ $=$ $\frac{b”(t) a'(t) – b'(t) a”(t)}{a’^{3}(t)}.$
$y’$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}$ $\cdot$ $\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}$ $=$ $\frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$ $=$ $\frac{b'(t)}{a'(t)}$
$y’$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$
解释：
要对隐函数 $F(x,y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F’_{x}$ $+$ $F’_{y}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{- F’_{x}}{F’_{y}}$
$F(x, y)$ $=$ $0$
说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F(x, y)$ $=$ $0$ 的形式.
例如，$e^{x}$ $-$ $xy$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：
将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$. 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是：$y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$.
示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$, 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$:
$\phi'(y)$ $=$ $\frac{\rm{d} x}{\rm{d} y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}}$ $=$ $\frac{1}{f'(x)}$
$y’$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} x}$ $=$ $\frac{\rm{d} y}{\rm{d} u}$ $\cdot$ $\frac{\rm{d} u}{\rm{d} x}$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$
复合函数求导法则，也称为复合函数求导的链式法则.
函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\color{Red}{\Leftrightarrow}$ 函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微
$(ab)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n – i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)}b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n – 1)}b’$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n – 2)} {b}^{”}$ $+$ $\cdots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n – k)}b^{(k)}$ $+$ $\cdots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)}b^{(n)}$
组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$
此外：$C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$
