莱布尼兹公式是什么？（B003）

问题

若函数

a (x)

和

b (x)

均

n

阶可导，则以下关于函数

a (x) \cdot b (x)

的

n

阶导【

(a b)^{(n)}

】，正确的是哪个选项？
（Tips：莱布尼兹公式是两个函数乘积的求导法则, 可用于计算两个函数乘积的高阶导数.）

选项

[A].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n + i))} b^{(i)}

[B].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

A_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

[C].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 1}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

[D].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

答案

$(a b)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n - i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)} b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n - 1)} b^{'}$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n - 2)} b^{”}$ $+$ $\dots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n - k)} b^{(k)}$ $+$ $\dots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)} b^{(n)}$

组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外： $C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

问题

选项

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