问题
已知，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $=$ $f(x)$, 则他们在其收敛域 $I$ 上具有什么性质？选项
[A]. 不确定[B]. 不连续
[C]. 连续
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ 和其对应的函数 $f(x)$ 在其收敛域 $I$ 上都是连续的。
幂级数和其函数再收敛域上的性质（B026）
[B]. 不连续
[C]. 连续
标签： 高等数学基础
[B]. 不连续
[C]. 连续
幂级数的加减运算性质（B026）
问题
已知 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $=$ $f(x)$, $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $g(x)$, 且，这两个幂级数的收敛半径分别为 $R_{1}$, $R_{2}$, 令，$R$ $=$ $\min$ $\left\{R_{1}, R_{2}\right\}$, 则 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $?$选项
[A]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\pm$ $b_{n}$ $)$ $x^{n}$[B]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $\frac{1}{a_{n}}$ $\pm$ $\frac{1}{b_{n}}$ $)$ $x^{n}$
[C]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $b_{n}$ $x^{n}$ $)$
[D]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\mp$ $b_{n}$ $)$ $x^{n}$
$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\pm$ $b_{n}$ $)$ $x^{n}$ $=$ $f(x)$ $\pm$ $g(x)$.
其中，$x$ $\in$ $(-R, R)$.
且 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(a_{n} \pm b_{n}\right)$ $x^{n}$ 在 $(-R, R)$ 内绝对收敛.
幂级数的收敛区间（B026）
问题
已知，幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ 的收敛半径为 $R$, 则，以下哪个选项是该幂级数的收敛区间？选项
[A]. $(0, R)$[B]. $(-R, R)$
[C]. $(\frac{-R}{2}, \frac{R}{2})$
[D]. $(-2R, 2R)$
$(-R, R)$
幂级数的收敛半径：$\rho$ $=$ $+\infty$（B026）
问题
已知，有幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$, 且，当 $n$ $\geq$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_{n}$ $\neq$ $0$.若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $\rho$ $=$ $+\infty$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$
选项
[A]. $R$ $=$ $1$[B]. $R$ $=$ $+\infty$
[C]. $R$ $=$ $0$
[D]. $R$ $=$ $\rho$
$R$ $=$ $0$
幂级数的收敛半径：$\rho$ $=$ $0$（B026）
问题
已知，有幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$, 且，当 $n$ $\geq$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_{n}$ $\neq$ $0$.若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $\rho$ $=$ $0$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$
选项
[A]. $R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$[B]. $R$ $=$ $0$
[C]. $R$ $=$ $-\infty$
[D]. $R$ $=$ $+\infty$
$R$ $=$ $+\infty$
幂级数的收敛半径：$0$ $<$ $\rho$ $<$ $+\infty$（B026）
问题
已知，有幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$, 且，当 $n$ $\geq$ $N$ 时，该幂级数的系数 $a_{n}$ $\neq$ $0$.若 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|$ $=$ $\rho$, 并且 $0$ $<$ $\rho$ $<$ $+\infty$, 则该幂级数的收敛半径 $R$ $=$ $?$
选项
[A]. $R$ $=$ $\rho$[B]. $R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$
[C]. $R$ $=$ $\rho^{2}$
[D]. $R$ $=$ $\frac{-1}{\rho}$
$R$ $=$ $\frac{1}{\rho}$
关于 $($ $x$ $-$ $x_{0}$ $)$ 的幂级数（B026）
问题
以下哪个是关于 $($ $x$ $-$ $x_{0}$ $)$ 的幂级数？选项
[A]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $n^{\left(x-x_{0}\right)}$[B]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)$
[C]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$
[D]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(x-x_{0}\right)^{a_{n}}$
$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$
关于 $x$ 的幂级数（B026）
问题
以下哪个是关于 $x$ 的幂级数？选项
[A]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $n^{x}$[B]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x$
[C]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$
[D]. $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{a_{n}}$
$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$
交错级数敛散性的判别法/莱布尼兹准则（B025）
问题
当交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $(-1)^{n-1}$ $u_{n}$ $($ $u_{n}$ $>$ $0$ $)$ 满足以下哪个选项中的条件时，可以说明该交错级数收敛？选项
[A]. $u_{n}$ $\leq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$[B]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $1$
[C]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 或 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$
[D]. $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$
若 $u_{n}$ $\geq$ $u_{n+1}$, $($ $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$ $)$ 且 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $u_{n}$ $=$ $0$, 则，该交错级数收敛，并且，其和 $S$ $\leqslant$ $u_{1}$, 余项 $|$ $R_{n}$ $|$ $\leqslant$ $u_{n+1}$.
条件收敛的结论（B025）
问题
根据条件收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛，则以下选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定收敛
[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散
[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项所构成的级数一定发散，所有负项所构成的级数一定收敛
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 中所有正项(或负项) 所构成的级数一定发散
绝对收敛的结论（B025）
问题
根据绝对收敛的结论，若 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛，则以下选项中，正确的是哪个？选项
[A]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 必收敛[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 可能收敛
[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必发散
[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 必收敛
条件收敛的定义（B025）
问题
已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 条件收敛？选项
[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
[C]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛
[D]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散，且 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 发散
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛
绝对收敛的定义（B025）
问题
已知，有一任意项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 则，根据绝对收敛的定义，以下哪个选项可以说明 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 绝对收敛？选项
[A]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 收敛[B]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 发散
[C]. $\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛
[D]. $\big|$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛
$\sum_{n=1}^{\infty}$ $\big|$ $u_{n}$ $\big|$ 收敛
正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$（B024）
问题
已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $<$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）
选项
[A]. 收敛[B]. 发散
[C]. 无法确定
收敛
正项级数的根值判别法：$\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$（B024）
问题
已知 $u_{n}$ $\geq$ $0$, $n$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, 若，对 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$, 有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $\sqrt[n]{u_{n}}$ $=$ $\rho$ $=$ $1$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}$ $u_{n}$ 的敛散性如何？（适用于 $u_{n}$ 中含有以 $n$ 为指数幂的因子）
选项
[A]. 无法确定[B]. 收敛
[C]. 发散
无法确定