高等数学基础归档 - 第18页共55页

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{π}{l} x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{n π}{l} x

d x

[D].

b_{n}

=

\frac{π}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\sin \frac{n}{l} x

d x

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{- l}^{l}$ $f (x)$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $d x$ .

其中， $($ $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$ $)$

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos n π l x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{- l}^{l}

f (x)

\cos \frac{π}{l} x

d x

[D].

a_{n}

=

\frac{1}{l}

\int_{\frac{- l}{2}}^{\frac{l}{2}}

f (x)

\cos \frac{n π}{l} x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{l}$ $\int_{- l}^{l}$ $f (x)$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $d x$ .

其中， $($ $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$ $)$ .

周期为 $2 l$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 l

为周期的周期函数，在区间

[- l, l]

上可积。并且，函数

f (x)

能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

2

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

[B].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

[C].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

)

[D].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos \frac{n π}{l} x

+

b_{n}

\sin \frac{n π}{l} x

)

答案

$f (x)$ $\sim$

$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n π}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n π}{l} x$ $)$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶系数： $b_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $b_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin x

d x

[B].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[C].

b_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[D].

b_{n}

=

π

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

答案

$b_{n}$ $=$ $\frac{1}{π}$ $\int_{- π}^{π}$ $f (x)$ $\sin n x$ $d x$ .

其中， $n$ $=$ $1$ , $2$ , $\dots$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶系数： $a_{n}$ （B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，且其傅里叶展开式为：

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$ .

那么，上述式子中的傅里叶系数之一 $a_{n}$ $=$ $?$

选项

[A].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

[B].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{- π}^{π}

f (x)

\sin n x

d x

[C].

a_{n}

=

\frac{1}{π}

\int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}}

f (x)

\cos n x

d x

[D].

a_{n}

=

π

\int_{- π}^{π}

f (x)

\cos n x

d x

答案

$a_{n}$ $=$ $\frac{1}{π}$ $\int_{- π}^{π}$ $f (x)$ $\cos n x$ $d x$ .

其中， $n$ $=$ $0$ , $1$ , $2$ , $\dots$

周期为 $2 π$ 的一般函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数

f (x)

是以

2 π

为周期的周期函数，并且，函数

f (x)

能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

[B].

f (x)

\sim

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

\frac{a_{n}}{2}

\cos n x

+

\frac{b_{n}}{2}

\sin n x

)

[C].

f (x)

\sim

2

a_{0}

+

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

[D].

f (x)

\sim

\frac{1}{2}

a_{0}

-

\sum_{n = 1}^{\infty}

(

a_{n}

\cos n x

+

b_{n}

\sin n x

)

答案

$f (x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos n x$ $+$ $b_{n}$ $\sin n x$ $)$

函数 $(1 + x)^{a}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

(1 + x)^{a}

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

(1 + x)^{a}

=

1

+

a x

x^{2}

+

\frac{a (a - 1)}{2!}

x^{3}

+

\dots

+

\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}

x^{n + 1}

+

\dots

[B].

(1 + x)^{a}

=

1

-

a x

-

\frac{a (a - 1)}{2!}

x^{2}

-

\dots

-

\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}

x^{n}

+

\dots

[C].

(1 + x)^{a}

=

x

+

a x

+

\frac{a (a - 1)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}

x^{n}

+

\dots

[D].

(1 + x)^{a}

=

1

+

a x

+

\frac{a (a - 1)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}

x^{n}

+

\dots

答案

$(1 + x)^{a}$ $=$

$1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a (a - 1)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}$ $x^{n}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{a (a - 1) \dots (a - n + 1)}{n!}$ $x^{n}$ .

其中， $x$ $\in$ $(- 1, 1)$

函数 $\ln (1 + x)$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

\ln (1 + x)

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\ln (1 + x)

=

x

+

\frac{x^{2}}{2}

+

\frac{x^{3}}{3}

+

\dots

+

(1)^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

+

\dots

[B].

\ln (1 + x)

=

1

-

\frac{x^{2}}{2}

+

\frac{x^{3}}{3}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

+

\dots

[C].

\ln (1 + x)

=

x

-

\frac{x^{2}}{2}

+

\frac{x^{3}}{3}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{n + 1}}{n + 1}

+

\dots

[D].

\ln (1 + x)

=

1

-

\frac{x}{2}

+

\frac{x^{2}}{3}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{n}}{n + 1}

+

\dots

答案

$\ln (1 + x)$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\dots$ $+$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ .

其中， $x$ $\in$ $(- 1, 1]$

函数 $\cos x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

\cos x

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\cos x

=

1

+

\frac{x^{2}}{2!}

-

\frac{x^{4}}{4!}

+

\dots

-

(- 1)^{n + 1}

\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

+

\dots

[B].

\cos x

=

x

-

\frac{x^{2}}{2!}

+

\frac{x^{4}}{4!}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

+

\dots

[C].

\cos x

=

1

-

\frac{x^{2}}{2!}

+

\frac{x^{4}}{4!}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

+

\dots

[D].

\cos x

=

1

-

\frac{x}{2!}

+

\frac{x^{2}}{4!}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{n}}{(2 n)!}

+

\dots

答案

$\cos x$ $=$

$1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4!}$ $-$ $\dots$ $+$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ .

其中， $x$ $\in$ $(- \infty, + \infty)$

函数 $\sin x$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

\sin x

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\sin x

=

x

-

\frac{x^{3}}{3!}

+

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{2 n}}{(2 n)!}

+

\dots

[B].

\sin x

=

x

+

\frac{x^{3}}{3!}

-

\dots

-

(- 1)^{n + 1}

\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

+

\dots

[C].

\sin x

=

1

-

\frac{x^{3}}{3!}

+

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

+

\dots

[D].

\sin x

=

x

-

\frac{x^{3}}{3!}

+

\dots

+

(- 1)^{n}

\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}

+

\dots

答案

$\sin x$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3!}$ $+$ $\dots$ $+$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $\frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ .

其中， $x$ $\in$ $(- \infty, + \infty)$

函数 $e^{x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

e^{x}

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

e^{x}

=

x

+

x^{2}

+

\frac{x^{3}}{2!}

+

\dots

+

\frac{x^{n + 1}}{n!}

+

\dots

[B].

e^{x}

=

0

+

x

+

\frac{x^{2}}{2!}

+

\dots

+

\frac{x^{n}}{n!}

+

\dots

[C].

e^{x}

=

1

+

x

+

\frac{x^{2}}{2!}

+

\dots

+

\frac{x^{n}}{n!}

+

\dots

[D].

e^{x}

=

1

+

2 x

+

\frac{x^{2}}{3!}

+

\dots

+

\frac{x^{n}}{(n + 1)!}

+

\dots

答案

$e^{x}$ $=$

$1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2!}$ $+$ $\dots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n!}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n!}$ .

其中 $x$ $\in$ $(- \infty, + \infty)$

函数 $\frac{1}{1 + x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

\frac{1}{1 + x}

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

\frac{1}{1 + x}

=

1

-

x

+

x^{2}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

x^{n}

+

\dots

[B].

\frac{1}{1 + x}

=

1

+

x

-

x^{2}

+

\dots

-

(- 1)^{n + 1}

x^{n}

-

\dots

[C].

\frac{1}{1 + x}

=

0

-

x

+

x^{2}

-

\dots

+

(- 1)^{n}

x^{n}

+

\dots

[D].

\frac{1}{1 + x}

=

1

+

x

+

x^{2}

+

\dots

+

(- 1)^{n}

x^{n}

+

\dots

答案

$\frac{1}{1 + x}$ $=$

$1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $\dots$ $+$ $(- 1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\dots$ $=$

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $(- 1)^{n}$ $x^{n}$ , $x$ $\in$ $(- 1, 1)$

函数 $\frac{1}{1 - x}$ 的幂级数展开式（B026）

问题

以下关于函数

\frac{1}{1 - x}

的幂级数展开式的选项中，正确的是哪个？

选项

[A].

1

+

x

+

x^{2}

+

\dots

+

x^{n - 1}

+

\dots

[B].

1

+

x

+

x^{2}

+

\dots

+

x^{n + 1}

+

\dots

[C].

1

+

x

+

x^{2}

+

\dots

+

x^{n}

+

\dots

[D].

0

+

x

+

x^{2}

+

\dots

+

x^{n}

+

\dots

答案

$\frac{1}{1 - x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $x^{n}$ $+$ $\dots$ $=$ $\sum_{n = 0}^{\infty}$ $x^{n}$ , $x$ $\in$ $(- 1, 1)$ .

函数的幂级数展开：麦克劳林级数（B026）

问题

当

x_{0}

=

0

时，函数

f (x)

在

x

=

x_{0}

处的泰勒级数就被成为麦克劳林级数，则，以下关于麦克劳林级数的展开式，正确的是哪个？

选项

[A].

f (0)

+

f^{'} (0)

x

+

\frac{f^{''} (0)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{f^{(n + 1)} (0)}{(n + 1)!}

x^{n + 1}

+

\dots

[B].

1

+

f^{'} (0)

x

+

\frac{f^{''} (0)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{f^{(n)} (0)}{n!}

x^{n}

+

\dots

[C].

f^{'} (0)

x

+

\frac{f^{''} (0)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{f^{(n)} (0)}{n!}

x^{n}

+

\dots

[D].

f (0)

+

f^{'} (0)

x

+

\frac{f^{''} (0)}{2!}

x^{2}

+

\dots

+

\frac{f^{(n)} (0)}{n!}

x^{n}

+

\dots

答案

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n}$ $=$ $f (0)$ $+$ $f^{'} (0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{''} (0)}{2!}$ $x^{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $\frac{f^{(n)} (0)}{n!}$ $x^{n}$ $+$ $\dots$

函数的幂级数展开：泰勒级数（B026）

问题

已知，函数

f (x)

在

x

=

x_{0}

的某一邻域内具有任意阶导数，则，以下哪个选项是函数

f (x)

在

x

=

x_{0}

处的泰勒级数？

选项

[A].

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}

{(x + x_{0})}^{n}

[B].

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}

{(x - x_{0})}^{n}

[C].

\sum_{n = 1}^{\infty}

\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}

{(x - x_{0})}^{n}

[D].

\sum_{n = 0}^{\infty}

\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}

{(x - x_{0})}^{n - 1}

答案

$\sum_{n = 0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}$ ${(x - x_{0})}^{n}$ $=$

$f (x_{0})$ $+$ $f^{'} (x_{0})$ $(x - x_{0})$ $+$ $\frac{f^{''} (x_{0})}{2!}$ ${(x - x_{0})}^{2}$ $+$ $\dots$ $+$ $\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}$ ${(x - x_{0})}^{n}$ $+$ $\dots$