月度归档： 2022 年 11 月

$(1+x{)}^a$ $=$

$1$ $+$ $ax$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2!}$ $x^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}$ $x^n$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}$ $x^n$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1)$

$\ln (1+x)$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^2}{2}$ $+$ $\frac{x^3}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1]$

$\cos x$ $=$

$1$ $-$ $\frac{x^2}{2!}$ $+$ $\frac{x^4}{4!}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n}}{(2n)!}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

$\sin x$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^3}{3!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

${\mathrm{e}}^x$ $=$

$1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^2}{2!}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^n}{n!}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{x^n}{n!}$.

其中 $x$ $\in$ $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

$\frac{1}{1+x}$ $=$

$1$ $-$ $x$ $+$ $x^2$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1{)}^n$ $x^n$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(-1{)}^n$ $x^n$, $x$ $\in$ $(-1,1)$

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^n$ $+$ $\cdots$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $x^n$, $x$ $\in$ $(-1,1)$.

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$ $=$ $f(0)$ $+$ $f^{\prime }(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}$ $x^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ $x^n$ $+$ $\cdots$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}$ ${(x-x_0)}^n$ $=$

$f\left(x_0\right)$ $+$ $f^{\prime }\left(x_0\right)$ $(x-x_0)$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime }\left(x_0\right)}{2!}$ ${(x-x_0)}^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}$ ${(x-x_0)}^n$ $+$ $\cdots$

$f^{\prime }(x)$ $=$

${\left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n\right)}^{\prime }$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ ${\left(a_n{x}^n\right)}^{\prime }$ $=$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ $n$ $a_n$ $x^{n-1}$.

${\int }_0^x$ $f(t)$ $\mathrm{d}t$ $=$

${\int }_0^x$ $($ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ $)$ $\mathrm{d}x$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $($ ${\int }_0^x$ $a_n$ $x^n$ $\mathrm{d}x$ $)$ $=$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}$

幂级数 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ 和其对应的函数 $f(x)$ 在其收敛域 $I$ 上都是连续的。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $a_n$ $x^n$ $\pm$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $b_n$ $x^n$ $=$ $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $($ $a_n$ $\pm$ $b_n$ $)$ $x^n$ $=$ $f(x)$ $\pm$ $g(x)$.

其中，$x$ $\in$ $(-R,R)$.

且 $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ $(a_n\pm b_n)$ $x^n$ 在 $(-R,R)$ 内绝对收敛.

$(-R,R)$

$R$ $=$ $0$