月度归档： 2022 年 11 月

$(1+x)^{a}$ $=$

$1$ $+$ $a x$ $+$ $\frac{a(a-1)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a(a-1) \cdots (a-n+1)}{n !}$ $x^{n}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1)$

$\ln (1+x)$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{2}}{2}$ $+$ $\frac{x^{3}}{3}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{n+1}}{n+1}$.

其中，$x$ $\in$ $(-1,1]$

$\cos x$ $=$

$1$ $-$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\frac{x^{4}}{4 !}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n}}{(2 n) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$

$\sin x$ $=$

$x$ $-$ $\frac{x^{3}}{3 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}$.

其中，$x$ $\in$ $(-\infty,+\infty)$

$\mathrm{e}^{x}$ $=$

$1$ $+$ $x$ $+$ $\frac{x^{2}}{2 !}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{x^{n}}{n !}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{x^{n}}{n !}$.

其中 $x$ $\in$ $(-\infty, +\infty)$

$\frac{1}{1+x}$ $=$

$1$ $-$ $x$ $+$ $x^{2}$ $-$ $\cdots$ $+$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n}$ $x^{n}$, $x$ $\in$ $(-1,1)$

$\frac{1}{1-x}$ $=$ $1$ $+$ $x$ $+$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $x^{n}$, $x$ $\in$ $(-1,1)$.

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}$ $=$ $f(0)$ $+$ $f^{\prime}(0)$ $x$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !}$ $x^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(0)}{n !}$ $x^{n}$ $+$ $\cdots$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$ $=$

$f\left(x_{0}\right)$ $+$ $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ $\left(x-x_{0}\right)$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{2}$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}$ $\left(x-x_{0}\right)^{n}$ $+$ $\cdots$

$f^{\prime}(x)$ $=$

$\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\right)^{\prime}$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(a_{n} x^{n}\right)^{\prime}$ $=$

$\sum_{n=1}^{\infty}$ $n$ $a_{n}$ $x^{n-1}$.

$\int_{0}^{x}$ $f(t)$ $\mathrm{d} t$ $=$

$\int_{0}^{x}$ $\big($ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\big($ $\int_{0}^{x}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\mathrm{~d} x$ $\big)$ $=$

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $\frac{a_{n}}{n+1} x^{n+1}$

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ 和其对应的函数 $f(x)$ 在其收敛域 $I$ 上都是连续的。

$\sum_{n=0}^{\infty}$ $a_{n}$ $x^{n}$ $\pm$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $b_{n}$ $x^{n}$ $=$ $\sum_{n=0}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\pm$ $b_{n}$ $)$ $x^{n}$ $=$ $f(x)$ $\pm$ $g(x)$.

其中，$x$ $\in$ $(-R, R)$.

且 $\sum_{n=0}^{\infty}$ $\left(a_{n} \pm b_{n}\right)$ $x^{n}$ 在 $(-R, R)$ 内绝对收敛.

$(-R, R)$

$R$ $=$ $0$