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积分区域关于平面 $x$ $=$ $z$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域 $\Omega$ 关于平面 $x$ $=$ $z$ 对称，则根据三重积分的轮换对称性，$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(-z, y, -x)$ $\mathrm{d} V$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $-$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(z, y, x)$ $\mathrm{d} V$

积分区域关于平面 $y$ $=$ $x$ 对称时的轮换对称性（B015）

问题

若积分区域 $\Omega$ 关于平面 $y$ $=$ $x$ 对称，则根据三重积分的轮换对称性，$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, z, y)$ $\mathrm{d} V$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(-y, -x, z)$ $\mathrm{d} V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $-$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} V$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(y, x, z)$ $\mathrm{d} V$

关于 $zOx$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $z O x$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $z O x$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 1, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)= f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ \frac{1}{2} \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, -y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, -y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(x, -y, z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $y$ 为奇函数.
$f(x, -y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $y$ 为偶函数.

关于 $yOz$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $y O z$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $y O z$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 1, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(-x, y, z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(-x, y, z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(-x, y, z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $x$ 为奇函数.
$f(-x, y, z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $x$ 为偶函数.

关于 $xOy$ 面对称的三重积分的化简（B015）

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $x O y$ 平面上方的部分，且积分区域 $\Omega$ 关于 $x O y$ 平面对称，则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简，正确的是哪个选项？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(x, y,-z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为奇函数.
$f(x, y,-z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为偶函数.

三重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数 $f(x, y, z)$ 在闭合积分区域 $\Omega$ 上连续，$V$ 为积分区域 $\Omega$ 的体积，则，根据三重积分的中值定理，在区域 $\Omega$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta, \zeta)$, 使得下列哪项成立？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $\frac{1}{V}$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $+$ $V$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f[(\xi+V), (\eta+V), (\zeta+V)]$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $f(\xi, \eta, \zeta)$ $\cdot$ $V$

三重积分的估值定理（B014）

问题

已知 $M$ 和 $m$ 分别为函数 $f(x, y, z)$ 在闭合的积分区域 $\Omega$ 上的最大值与最小值，$V$ 为积分区域 $\Omega$ 的体积，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $m V$ $<$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $<$ $M V$

[B]. $m V$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $M V$

[C]. $m V$ $>$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $>$ $M V$

[D]. $m V$ $\geqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\geqslant$ $M V$

答案

$m V$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $M V$

三重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域 $\Omega$ 上恒有 $f(x, y, z)$ $\leqslant$ $g(x, y, z)$, 则根据三重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\geqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $>$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $<$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域 $\Omega$ 的体积为 $V$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $1$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V^{3}$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{V}$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

三重积分的积分区域可加的性质（B015）

问题

已知有积分区域 $\Omega_{1}$, $\Omega_{2}$ 和 $\Omega$, 且 $\Omega_{1}$ $\cup$ $\Omega_{2}$ $=$ $\Omega$, $\Omega_{1}$ $\cap$ $\Omega_{2}$ 不能形成空间闭区域（即 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 相交但不重叠）。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $-$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\times$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分被积函数的加减性质（B015）

问题

已知函数 $f(x, y, z)$ 和函数 $g(x, y, z)$ 都是被积函数，则，以下关于三重积分被积函数的加减性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\big[$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\big]$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\mp$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\times$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分中常数的性质（B015）

问题

已知 $k$ 为常数，$\Omega$ 为三重积分的积分区域，则以下关于常数 $k$ 在三种积分中的运算性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $- k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{k \Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

积分区域关于直线 $y$ $=$ $x$ 对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于直线 $y$ $=$ $x$ 对称，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{\frac{D}{2}}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $-$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

积分区域关于 $y$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且积分区域 $D_{1}$ 为积分区域 $D$ 上在 $x$ $\geq$ $0$ 的部分，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[B]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[C]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[D]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

答案

$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

积分区域关于 $x$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且积分区域 $D_{1}$ 为积分区域 $D$ 上在 $y$ $\geq$ $0$ 的部分，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ \frac{1}{2} \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[B]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[C]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[D]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

答案

$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$