关于 $xOy$ 面对称的三重积分的化简(B015)

问题

若积分区域 $\Omega_{1}$ 是位于积分区域 $\Omega$ 在 $x O y$ 平面上方的部分,且积分区域 $\Omega$ 关于 $x O y$ 平面对称,则以下关于三重积分 $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ 的化简,正确的是哪个选项?

选项

[A].   $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[B].   $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[C].   $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

[D].   $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$


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$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\left\{\begin{array}{l} 0, \quad f(x, y,-z)=-f(x, y, z), \\ 2 \iiint_{\Omega_{1}} f(x, y, z) \mathrm{d} v, f(x, y,-z)=f(x, y, z) \end{array}\right.$

$f(x, y,-z)$ $=$ $-$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为奇函数.
$f(x, y,-z)$ $=$ $f(x, y, z)$ $\Rightarrow$ 函数 $f$ 在积分区域 $\Omega$ 上关于 $z$ 为偶函数.