分类： 考研数学

$$\int \frac{1}{\textcolor{Red}{x}} \mathrm{d} x =$$ $$\ln \textcolor{Red}{|x|} + \textcolor{Green}{C}.$$ 其中，$\textcolor{Green}{C}$ 为任意常数.

注意：只有当 $x$ $>$ $0$ 的时候，才会有：$\int$ $\frac{1}{\textcolor{Red}{x}}$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\ln \textcolor{Red}{x}$ $+$ $C$.

$$\int x^{\textcolor{Red}{k}} \mathrm{d} x =$$ $$\frac{x^{\textcolor{Red}{k+1}}}{\textcolor{Red}{k+1}} + \textcolor{Green}{C}.$$其中，$k$ $\textcolor{Yellow}{\neq}$ $-1$, $C$ 为任意常数.

$$\textcolor{Red}{\int \mathrm{d}} F(x) =$$ $$F(x) + \textcolor{Green}{C}.$$

规律：将积分符号 $\textcolor{Red}{\int}$ 和微分符号 $\textcolor{Red}{\mathrm{d}}$ 放在一块就可以相互抵消.

注意：由于微分符号 $\textcolor{Red}{\mathrm{d}}$ 在积分符号 $\textcolor{Red}{\int}$ 的内侧，即“微分”抵消的仅仅是位于其后面的被积函数 $F(x)$ 而不是整个积分，因此，所得的结果中会包含未被抵消掉的，来自积分的常数 $\textcolor{Green}{C}$:
$\int$ $\mathrm{d}$ $F(x)$ $=$ $F(x)$ $+$ $\textcolor{Green}{C}$

$$\textcolor{Red}{ \mathrm{d} \int } f(x) \mathrm{d} x =$$ $$f(x) \mathrm{d} x$$

规律：将微分符号 $\textcolor{Red}{ \mathrm{d} }$ 和积分符号 $\textcolor{Red}{ \int }$ 放在一块就可以相互抵消.

注意：由于微分符号 $\textcolor{Red}{ \mathrm{d} }$ 在积分符号 $\textcolor{Red}{ \int }$ 的外侧，即 “微分”抵消的是整个“积分”，因此，在所得的结果中不会包含由“积分”产生的常数 $\textcolor{Green}{C}$:
$\mathrm{d}$ $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\textcolor{Yellow}{\neq}$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $+$ $\textcolor{Green}{C}$

$$\textcolor{Red}{\int} F^{\textcolor{Red}{\prime}}(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{F(x)} + \textcolor{Green}{C}.$$其中，$C$ 为任意常数.

$$\big[ \textcolor{Red}{\int} \textcolor{Green}{f(x)} \mathrm{d} x \big] \textcolor{Red}{‘} =$$ $$\textcolor{Green}{f(x)}$$

$\int$ $\big[$ $f_{1}(x)$ $\textcolor{Red}{+}$ $f_{2}(x)$ $\textcolor{Red}{+}$ $\cdots$ $\textcolor{Red}{+}$ $f_{k}(x)$ $\big]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f_{1}(x)$ $\mathrm{d} x$ $\textcolor{Red}{+}$ $\int$ $f_{2}(x)$ $\mathrm{d} x$ $\textcolor{Red}{+}$ $\cdots$ $\textcolor{Red}{+}$ $\int$ $f_{k}(x)$ $\mathrm{d} x$.

$\int$ $\big[$ $f_{1}(x)$ $\textcolor{Red}{-}$ $f_{2}(x)$ $\textcolor{Red}{-}$ $\cdots$ $\textcolor{Red}{-}$ $f_{k}(x)$ $\big]$ $\mathrm{d} x$ $=$ $\int$ $f_{1}(x)$ $\mathrm{d} x$ $\textcolor{Red}{-}$ $\int$ $f_{2}(x)$ $\mathrm{d} x$ $\textcolor{Red}{-}$ $\cdots$ $\textcolor{Red}{-}$ $\int$ $f_{k}(x)$ $\mathrm{d} x$.

$$\int \textcolor{Red}{k} f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\textcolor{Red}{k} \int f(x) \mathrm{d} x =$$ $$\int f(x) \mathrm{d} (\textcolor{Red}{k} x).$$
总结：常数 $\textcolor{Red}{k}$ 除了不能随便进入被积函数 $f(x)$ 本身外，常数 $\textcolor{Red}{k}$ 可以在不改变积分式子值的情况下在积分式子的多个位置随意进出.

设在区间 $U$ 上，函数 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$, $C$ 为任意常数，则 $F(x)$ $+$ $C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，记作：
$F(x)$ $+$ $C$ $=$ $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $F(x)$ $=$ $\int$ $f(x)$ $\mathrm{d} x$ + $C$.

在定义区间上包含以下类型间断点的函数【一定不存在】原函数（因为包含以下间断点的函数无法进行积分）：
可去间断点
跳跃间断点
无穷间断点

此外，包含【震荡间断点】的函数【可能】存在原函数.

连续函数一定存在原函数.

解释：
连续函数在其定义域上一定是可积的，因此，根据不定积分的定义可知，连续函数（该函数不一定处处可导）一定存在原函数.
此外，由于可导一定连续，因此，可导函数也一定存在原函数.

原函数的定义

简洁版：
$F'(x)$ $=$ $f(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数

完整版：
设$f(x)$ 是定义在区间 $U$ 上的一个函数，如果存在 $\forall$ $x$ $\in$ $U$, 都有 $F'(x)$ $=$ $f(x)$ 或者 $\mathrm{d} F(x)$ $=$ $f(x) \mathrm{d} x$, 则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $U$ 上的一个原函数.

$R$ $=$ $\frac{1}{k}$ $=$ $\frac{(1 + y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}{|y”|}$, $k$ $\neq$ $0$.

$k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}$