一、前言 
$$
\frac{0}{\infty} = ?
$$
$$
\frac{\infty}{0} = ?
$$
分类： 高等数学
不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理
一、题目
$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{x+3} \mathrm{~d} x=?
$$
难度评级：
继续阅读“不是所有的定积分都必须做积分运算：在有极限的时候也可以尝试夹逼定理”你能写出这个复合函数吗？
一、题目
已知：
$$
f(x) =
\begin{cases}
& x^{3}, & x<-1;\\ & 2-x, & -1 \leqslant x \leqslant 0;\\ & 2+x, & x>0
\end{cases}
$$
且：
$$
g(x) =
\begin{cases}
& x^{2}, & x<0; \\
& -x, & x \geqslant 0.
\end{cases}
$$
则 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} f[g(x)] = ?$
难度评级：
继续阅读“你能写出这个复合函数吗？”这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[4]{1-\sqrt[3]{1-\sqrt{1-x}}}-1}{(1+x)^{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}-1}=?
$$
难度评级：
继续阅读“这有一个“眼花缭乱”的题：做的时候千万不要乱！”不趋于零的怎么求？凑成零！
集火攻击：多种方法解一道题
一、题目
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\left(3+\sin x^{2}\right)^{x}-3^{\sin x}}{x^{3}} = ?
$$
难度评级：
继续阅读“集火攻击：多种方法解一道题”有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！
一、题目
$$
I=\int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{1-\sqrt{1-x^{2}}}^{-x} \frac{\mathrm{d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“有根号又有平方的累次积分怎么求解？用极坐标系试一试吧！”arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！
一、前言
首先，我们要明确，使得 $\arcsin (\sin x)$ $=$ $x$ 成立是有前提条件的，这个前提条件就是：
$$
x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
$$
下面我们就详细讨论一下为什么会这样。
难度评级：
继续阅读“arcsin(sin x) 一定等于 x 吗？不一定哦！”计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算
一、题目
$$
\int_{1}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{x}}^{2} y \mathrm{e}^{x y} \mathrm{~d} y = ?
$$
难度评级：
继续阅读“计算累次积分的核心：分离两个变量，在两个不同的积分中分别计算”“无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜
一、题目
$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin 2 x \cdot \mathrm{e}^{|x|} \mathrm{~ d} x$ 的敛散性如何？
难度评级：
继续阅读““无穷”的“心思”不能靠“有穷”来猜”曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值
一、题目
曲线 $y=x^{2} \sin x$ $(0 \leqslant x \leqslant 2 \pi)$ 与 $X$ 轴所围成区域的面积 $S$ 的表达式是什么？
难度评级：
继续阅读“曲线与坐标轴所围成的面积不一定就等于对应区间上积分的值”利用现成的结论快速解题
一、题目
已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则
$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$
难度评级：
继续阅读“利用现成的结论快速解题”常用的反常积分结论之 e 积分
一、前言
$$
\int_{0}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
$$
\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
$$
\int_{- \infty}^{0} e^{-x^{2}} \mathrm{~ d} x = ?
$$
继续阅读“常用的反常积分结论之 e 积分”Tips:
关于考研数学中涉及 $e^{x}$ 的一些计算技巧，可以查看《考研数学解题思路积累：和 $e^{x}$ 有关的那些式子》这篇文章。
一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目
一、题目
已知 $f(x)=1-\cos x$, 则：
$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})(1-\sqrt[4]{\cos x})(1-\sqrt[5]{\cos x})}{f\{ f[f(x)] \}}=?
$$
难度评级：
继续阅读“一个不能用洛必达运算也不能用泰勒公式的无穷小题目”等价无穷小公式的一个补充扩展：关于三角函数 cos
一、前言
你知道当 $x \rightarrow 0$ 时，以下式子的等价无穷小是多少吗？
$$
1 – \sqrt{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[3]{\cos x} = ?
$$
$$
1 – \sqrt[5]{\cos x} = ?
$$