高等数学归档 - 第60页共110页

三重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域 $\Omega$ 上恒有 $f(x, y, z)$ $\leqslant$ $g(x, y, z)$, 则根据三重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $<$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\geqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $>$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\leqslant$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域 $\Omega$ 的体积为 $V$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{V}$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $1$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V^{3}$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $1$ $\mathrm{d} v$ $=$ $V$

三重积分的积分区域可加的性质（B015）

问题

已知有积分区域 $\Omega_{1}$, $\Omega_{2}$ 和 $\Omega$, 且 $\Omega_{1}$ $\cup$ $\Omega_{2}$ $=$ $\Omega$, $\Omega_{1}$ $\cap$ $\Omega_{2}$ 不能形成空间闭区域（即 $\Omega_{1}$ 和 $\Omega_{2}$ 相交但不重叠）。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\times$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $-$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $+$ $\iiint_{\Omega_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分被积函数的加减性质（B015）

问题

已知函数 $f(x, y, z)$ 和函数 $g(x, y, z)$ 都是被积函数，则，以下关于三重积分被积函数的加减性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\times$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\big[$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\big]$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\mp$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $\big[$ $f(x, y, z)$ $\pm$ $g(x, y, z)$ $\big]$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $\pm$ $\iiint_{\Omega}$ $g(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

三重积分中常数的性质（B015）

问题

已知 $k$ 为常数，$\Omega$ 为三重积分的积分区域，则以下关于常数 $k$ 在三种积分中的运算性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\iiint_{k \Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $- k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$\iiint_{\Omega}$ $k$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$ $=$ $k$ $\iiint_{\Omega}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

积分区域关于直线 $y$ $=$ $x$ 对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于直线 $y$ $=$ $x$ 对称，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $-$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{\frac{D}{2}}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\iint_{D}$ $($ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $)$ $\mathrm{d} \sigma$

积分区域关于 $y$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且积分区域 $D_{1}$ 为积分区域 $D$ 上在 $x$ $\geq$ $0$ 的部分，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[B]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[C]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[D]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

答案

$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(-x, y)=f(x, y) \end{array}\right.$

积分区域关于 $x$ 轴对称的二重积分的化简（B014）

问题

如果积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且积分区域 $D_{1}$ 为积分区域 $D$ 上在 $y$ $\geq$ $0$ 的部分，则以下对二重积分 $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ 的化简，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[B]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{\frac{D}{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[C]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

[D]. $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ \frac{1}{2} \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

答案

$\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x,-y)=-f(x, y), \\ 2 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x,-y)=f(x, y) \end{array}\right.$

二重积分的中值定理（B014）

问题

已知函数 $f(x, y)$ 在闭合积分区域 $D$ 上连续，$A$ 为积分区域 $D$ 的面积，则，根据二重积分的中值定理，在区域 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$, 使得下列哪项成立？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $f(\xi, \eta)$ $-$ $A$

[B]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $f(\xi, \eta)$ $+$ $A$

[C]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $f(\xi, \eta)$ $\cdot$ $A$

[D]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $f(\xi \cdot A, \eta \cdot A)$

答案

$\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $f(\xi, \eta)$ $\cdot$ $A$

二重积分的估值定理（B014）

问题

已知 $M$ 和 $m$ 分别为函数 $f(x, y)$ 在闭合的积分区域 $D$ 上的最大值与最小值，$A$ 为积分区域 $D$ 的面积，则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $m \cdot A$ $\geqslant$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\geqslant$ $M \cdot A$

[B]. $m \cdot A$ $\leqslant$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\leqslant$ $M \cdot A$

[C]. $m \cdot A$ $<$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $<$ $M \cdot A$

[D]. $\frac{m}{2} \cdot A$ $\leqslant$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\leqslant$ $\frac{M}{2} \cdot A$

答案

$m \cdot A$ $\leqslant$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\leqslant$ $M \cdot A$

二重积分的比较定理（B014）

问题

若在积分区域 $D$ 上恒有 $f(x, y)$ $\leqslant$ $g(x, y)$, 则根据二重积分的比较定理，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\leqslant$ $\iint_{D}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $>$ $\iint_{D}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $<$ $\iint_{D}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\geqslant$ $\iint_{D}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $\leqslant$ $\iint_{D}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

二重积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B014）

问题

已知积分区域 $D$ 的面积为 $A$, 则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $1$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $A^{2}$

[B]. $\iint_{D}$ $1$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $1$

[C]. $\iint_{D}$ $1$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $-A$

[D]. $\iint_{D}$ $1$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $A$

答案

$\iint_{D}$ $1$ $\mathrm{~d} \sigma$ $=$ $A$

二重积分的积分区域可加的性质（B014）

问题

已知有积分区域 $D_{1}$, $D_{2}$ 和 $D$, 且 $D_{1}$ $\cup$ $D_{2}$ $=$ $D$, $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 刚好相交但不重叠，即 $D_{1}$ $\cap$ $D_{2}$ 为曲线。

则以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D_{1}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\times$ $\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D_{1}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $-$ $\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D_{1}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $+$ $\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D – D_{1}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $+$ $\iint_{D – D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D_{1}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $+$ $\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$

二重积分被积函数的加减性质（B014）

问题

已知函数 $f(x, y)$ 和函数 $g(x, y)$ 都是被积函数，则，以下关于二重积分被积函数的加减性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $[f(x, y) \pm g(x, y)]$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\times$ $\iint_{D}$ $g(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $[f(x, y) \pm g(x, y)]$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{\frac{D}{2}}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\pm$ $\iint_{\frac{D}{2}}$ $g(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $[f(x, y) \pm g(x, y)]$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\mp$ $\iint_{D}$ $g(x, y) \mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $[f(x, y) \pm g(x, y)]$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\pm$ $\iint_{D}$ $g(x, y) \mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $[f(x, y) \pm g(x, y)]$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{D}$ $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ $\pm$ $\iint_{D}$ $g(x, y) \mathrm{d} \sigma$

二重积分中常数的性质（B014）

问题

已知 $k$ 为常数，则以下关于常数在二重积分中的性质的选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\iint_{D}$ $k$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $k$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $\iint_{D}$ $k$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\iint_{k D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $\iint_{D}$ $k$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $\frac{1}{k}$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $\iint_{D}$ $k$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $-k$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$\iint_{D}$ $k$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$ $=$ $k$ $\iint_{D}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$