高等数学归档 - 第59页共111页

第二类曲面积分的积分区域可加性（B019）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$ , 则，根据第二类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

第一类曲面积分的积分区域可加性（B018）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$, 则，根据第一类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

第一类曲面积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B018）

问题

已知被积函数 $f(x, y, z)$ $=$ $1$, $S$ 为积分区域 $\Sigma$ 的面积，则 $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $\frac{1}{S}$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{3}$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{2}$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

第二类曲线积分中常数的运算性质/线性（B017）

问题

已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 为常数，则 $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\frac{1}{\alpha}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\frac{1}{\beta}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $\times$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径的可加性（B017）

问题

已知，有向曲线弧 $L$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $L_{1}$ 和 $L_{2}$, 则 $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{\frac{1}{L_{1}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{\frac{1}{L_{2}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L + L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L + L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径相反时的转换方式/有向性（B017）

问题

已知第二类曲线积分中的积分路径 $L$ 为有向曲线弧，$L^{-}$ 为与 $L$ 方向相反的曲线，则，当积分路径分别为 $L$ 和 $L^{-}$ 时，以下等式所对应的转换关系正确的是哪个？

选项

[A]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\frac{1}{\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x}, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y}. \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

答案

$\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

第一类曲线积分中的轮换对称性（被积函数为三元函数）（B016）

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $\Gamma$（一条空间曲线）关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性，则当被积函数为 $f(x, y, z)$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $\times$ $f(z, x, y)$ $\times$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $-$ $f(z, x, y)$ $-$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中的轮换对称性（被积函数为二元函数）（B016）

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $L$（一条平面曲线）关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性，则当被积函数为 $f(x, y)$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $\times$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $-$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L}$ $f(y, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{L}$ $[$ $f(x, y)$ $+$ $f(y, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

积分路径关于 $x$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径 $L$ 关于 $x$ 轴对称, 则如何对第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ 进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $y$ 轴上方的部分。）

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\\int_{2 L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(x, -y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(x, -y)=f(x, y). \end{array}\right.$

$f(-x, y)$ $=$ $-$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f(-x, y)$ $=$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

积分路径关于 $y$ 轴对称时第一类曲线积分的化简（B016）

问题

已知积分路径 $L$ 关于 $y$ 轴对称, 则如何对第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ 进行化简？

（其中，积分路径 $L_{1}$ 是积分路径 $L$ 在 $x$ 轴右侧的部分。）

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\\int_{2 L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\\int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 1, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\left\{\begin{array}{ll} 0, & f(-x, y)=-f(x, y), \\2 \int_{L_{1}} f(x, y) \mathrm{d} s, & f(-x, y)=f(x, y). \end{array}\right.$

$f(-x, y)$ $=$ $-$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的奇函数.
$f(-x, y)$ $=$ $f(x, y)$ $\Rightarrow$ $f(x, y)$ 是关于 $x$ 的偶函数.

第一类曲线积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B016）

问题

已知 $H$ 为积分路径 $L$ 这条曲线的弧长，那么，当被积函数为 $1$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $0$

[B]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $1$

[C]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$

[D]. $\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H^{\frac{2}{3}}$

答案

$\int_{L}$ $1$ $\mathrm{d} s$ $=$ $H$

第一类曲线积分的比较定理（带绝对值）（B016）

问题

已知在积分路径 $L$ 上，有函数 $f(x, y)$, 则，根据带有绝对值情况下的第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $>$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $<$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\geqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

答案

$\big|$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\big|$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $|$ $f(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分的比较定理（不带绝对值）（B016）

问题

已知在积分路径 $L$ 上，有 $f(x, y)$ $\leqslant$ $g(x, y)$, 则，根据第一类曲线积分的比较定理，以下选项正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $<$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\geqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $>$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\leqslant$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中常数的运算性质（B016）

问题

已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 为常数，则，根据第一类曲线积分中常数的运算性质，以下选项中正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{\alpha}$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\frac{1}{\beta}$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\times$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\mp$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$~$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $f(x, y)$ $\pm$ $\beta$ $g(x, y)$ $\big]$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $\pm$ $\beta$ $\int_{L}$ $g(x, y)$ $\mathrm{d} s$

第一类曲线积分中积分路径的可加性（B016）

问题

已知积分路径 $L$ $=$ $L_{1}$ $+$ $L_{2}$, 则根据第一类曲线积分中积分路径的可加性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\frac{L_{1}}{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{\frac{L_{2}}{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L – L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L – L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $-$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{L}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $f(x, y)$ $\mathrm{d} s$