散度的定义(B022)

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 则,$\boldsymbol{A}$ 在点 $(x, y, z)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $?$

选项

[A].   $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial x}{\partial P}$ $+$ $\frac{\partial y}{\partial Q}$ $+$ $\frac{\partial z}{\partial R}$

[B].   $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $\times$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[C].   $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

[D].   $\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$



显示答案

$\operatorname{div} \boldsymbol{A}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$

通量/流量的定义(B022)

问题

已知 $\boldsymbol{A}(x, y, z)$ $=$ $P(x, y, z)$ $\boldsymbol{i}$ $+$ $Q(x, y, z)$ $\boldsymbol{j}$ $+$ $R(x, y, z)$ $\boldsymbol{k}$, 且 $P$, $Q$, $R$ 有一阶连续偏导数,$\Sigma$ 为场内一有向曲面,$\boldsymbol{n}$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量,则,根据通量(或者称之为“流量”)的定义,以下哪个选项是 $\boldsymbol{A}$ 通过曲面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量(流量)?

选项

[A].   $\boldsymbol{n}$ $\cdot$ $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

[B].   $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $+$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

[C].   $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\mathrm{~d} S$

[D].   $\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$



显示答案

$\iint_{\Sigma}$ $\boldsymbol{A}$ $\cdot$ $\boldsymbol{n}$ $\mathrm{~d} S$

斯托克斯公式(B021)

问题

已知,$\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线,$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面,$\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则,且 $P$, $Q$, $R$ 在包含曲面 $\Sigma$ 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则,根据斯托克斯公式,$\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A].   $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $\times$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B].   $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $-$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C].   $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D].   $\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$



显示答案

$\oint_{\Gamma}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $+$ $R$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma}$ $($ $\frac{\partial R}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $($ $\frac{\partial P}{\partial z}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial x}$ $)$ $\mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ $+$ $($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $)$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right|$ $=$ $\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \mathrm{d} S.$

其中,$n$ $=$ $($ $\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ $)$ 为 $\Sigma$ 的单位法向量.

高斯公式/高斯定理(B021)

问题

已知,存在有界闭合空间区域 $\Omega$, 其边界 $\partial \Omega$ 为分片滑的闭曲面。函数 $P(x, y, z)$, $Q(x, y, z)$, $R(x, y, z)$ 及其一阶偏导数在空间区域 $\Omega$ 上连续,那么,根据高斯公式,第二类曲面积分 $P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ 转换为三重积分该如何表示?

选项

[A].    $P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $\times$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

[B].    $P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $-$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

[C].    $P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

[D].    $P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\partial P \cdot \partial x$ $+$ $\partial Q \cdot \partial y$ $+$ $\partial R \cdot \partial z$ $)$ $\mathrm{d} V$



显示答案

$P$ $\mathrm{d} y \mathrm{d} z$ $+$ $Q$ $\mathrm{d} z \mathrm{d} x$ $+$ $R$ $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

或记作:
$($ $P$ $\cos \alpha$ $+$ $Q$ $\cos \beta$ $+$ $R$ $\cos \gamma$ $)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $\frac{\partial P}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial Q}{\partial y}$ $+$ $\frac{\partial R}{\partial z}$ $)$ $\mathrm{d} V$

其中,$\partial \Omega$ 是空间 $\Omega$ 整个边界曲面的外侧,$\cos \alpha$, $\cos \beta$, $\cos \gamma$ 为 $\partial \Omega$ 的外法向量的方向余弦。

平面曲线积分与路径无关的性质(B021)

问题

已知函数 $P(x, y)$, $Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数,$L$ 为 $D$ 内任一条简单分段光滑的封闭曲线,则,根据格林公式,以下哪个选项可以说明曲线积分 $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ 在区域 $D$ 内与路径无关?

注意:所谓“单连通区域”就是光滑连续没有“洞”的区域.

选项

[A].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $0$

[B].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $\neq$ $1$

[C].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $\neq$ $0$

[D].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $1$



显示答案

$\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ 与路径无关 $\Leftrightarrow$ $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $0$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial P}{\partial y}$, $\forall(x, y)$ $\in$ $D$ $\Leftrightarrow$ 存在函数 $u(x, y)$, $(x, y)$ $\in$ $D$, 使得 $\mathrm{d}$ $u(x, y)$ $=$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$, 此时 $u(x, y)$ $=$ $\int_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}^{(x, y)}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$.

格林公式(B021)

问题

已知闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成($L$ 为 $D$ 的取正向的边界曲线),函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数,则,根据格林公式,以下等式正确的是哪个?

选项

[A].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $\times$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[B].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $\div$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[C].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $+$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

[D].   $\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$



显示答案

$\oint_{L}$ $P$ $\mathrm{~d} x$ $+$ $Q$ $\mathrm{~d} y$ $=$ $\iint_{D}$ $\big($ $\frac{\partial Q}{\partial x}$ $-$ $\frac{\partial P}{\partial y}$ $\big)$ $\mathrm{d} x$ $\mathrm{~d} y$

格林公式描述了第二类曲线积分和二重积分之间的关系,一般用于二元函数的全微分求积.

空间物体对质点的引力(B020)

问题

已知物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)$, $\Omega$ 外有一质点 $M_{0}$ $($ $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$ $)$, 其质量为 $m_{0}$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续,则该物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}$ $=$ $\{$ $F_{x}$, $F_{y}$, $F_{z}$ $\}$, 则 $F_{x}$ $=$ $?$, $F_{y}$ $=$ $?$, $F_{z}$ $=$ $?$

其中,以下选项中的 $G$ 为引力常数.

选项

[A].   
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.


[B].   
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.


[C].   
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.


[D].   
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$.




显示答案


$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

空间立体的转动惯量(B020)

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续,设立体对 $x$ 轴,$y$ 轴,$z$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$, $I_{z}$ $=$ $?$

选项

[A].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$



显示答案

$I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

平面薄片的转动惯量(B020)

问题

已知薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续,若设该薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$

选项

[A].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$



显示答案

$I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

空间立体的质心坐标(B020)

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在空间立体 $\Omega$ 上连续,则,该立体的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为多少?

选项

[A].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[B].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[C].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[D].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$



显示答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

平面薄片的质心坐标(B020)

问题

已知,平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 若 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续,则,薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为多少?

选项

[A].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[B].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[C].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[D].   $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$



显示答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

空间曲面的面积(B020)

问题

已知曲面 $A$ 由方程 $z$ $=$ $f(x, y)$ 确定,平面区域 $D_{x y}$ 为曲面 $A$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影,且函数 $f(x, y)$ 在区域 $D_{x y}$ 上具有连续的偏导数 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$, 则曲面的面积 $S$ $=$ $?$

选项

[A].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1-\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$



显示答案

$S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

曲顶柱体体积的计算(B020)

问题

已知,$D$ 是曲顶柱体 $\Omega$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影,那么,曲顶柱体 $\Omega$ 的体积 $V$ $=$ $?$

选项

[A].   $V$ $=$ $\iint_{D^{2}}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[B].   $V$ $=$ $-$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[C].   $V$ $=$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[D].   $V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$



显示答案

$V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

第二类曲面积分中积分区域的方向性(B019)

问题

已知 $\Sigma$ 为有向曲面,$\Sigma^{-}$ 与 $\Sigma$ 的法向量相反,则,根据第二类曲面积分中积分区域的方向性,以下选项中,正确的是哪个?

选项

[A].   $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[B].   $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[C].   $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[D].   $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$



显示答案

$\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

第二类曲面积分的积分区域可加性(B019)

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$ , 则,根据第二类曲面积分的性质,$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A].   $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[B].   $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[C].   $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[D].   $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$



显示答案

$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$