空间立体的转动惯量(B020)

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续,设立体对 $x$ 轴,$y$ 轴,$z$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$, $I_{z}$ $=$ $?$

选项

[A].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D].   $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$


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$I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$


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