空间曲面的面积（B020）

问题

已知曲面 $A$ 由方程 $z$ $=$ $f(x, y)$ 确定，平面区域 $D_{x y}$ 为曲面 $A$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影，且函数 $f(x, y)$ 在区域 $D_{x y}$ 上具有连续的偏导数 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$, 则曲面的面积 $S$ $=$ $?$

选项

[A].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D].   $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1-\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

   答 案   

$S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$