平面薄片的转动惯量（B020）

问题

已知薄片 $D$ 的面密度为 $\rho (x,y)$, 且 $\rho (x,y)$ 在 $D$ 上连续，若设该薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_x$, $I_y$, 则 $I_x$ $=$ $?$, $I_y$ $=$ $?$

选项

[A].   $I_x$ $=$ ${\iint }_D$ $y^2$ ${\rho }^{\prime }(x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$, $I_y$ $=$ ${\iint }_D$ $x^2$ ${\rho }^{\prime }(x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$

[B].   $I_x$ $=$ ${\iint }_D$ $y^{\prime }$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$, $I_y$ $=$ ${\iint }_D$ $x^{\prime }$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$

[C].   $I_x$ $=$ ${\iint }_D$ $y$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$, $I_y$ $=$ ${\iint }_D$ $x$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$

[D].   $I_x$ $=$ ${\iint }_D$ $y^2$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$, $I_y$ $=$ ${\iint }_D$ $x^2$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$

   答 案   

$I_x$ $=$ ${\iint }_D$ $y^2$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$, $I_y$ $=$ ${\iint }_D$ $x^2$ $\rho (x,y)$ $\mathrm{d}\sigma$