平面薄片的转动惯量（B020）

问题

已知薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续，若设该薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$

选项

[A].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D].   $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

   答 案   

$I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$