简洁版：
$F'(x)$ $=$ $f(x)$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 函数 $F(x)$ 是函数 $f(x)$ 的原函数
完整版：
设$f(x)$ 是定义在区间 $U$ 上的一个函数，如果存在 $\forall$ $x$ $\in$ $U$, 都有 $F'(x)$ $=$ $f(x)$ 或者 $\mathrm{d} F(x)$ $=$ $f(x) \mathrm{d} x$, 则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $U$ 上的一个原函数.
$R$ $=$ $\frac{1}{k}$ $=$ $\frac{(1 + y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}{|y”|}$, $k$ $\neq$ $0$.
关于曲率的计算方法可以查看荒原之梦网（zhaokaifeng.com）的这篇文章：
$k$ $=$ $\frac{|y”|}{(1+y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}$
如果 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$, 或者 $k$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $\frac{f(x)}{x}$ 且 $b$ $=$ $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $[$ $f(x)$ $-$ $kx$ $]$，则直线 $y$ $=$ $kx$ $+$ $b$ 就是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的倾斜渐近线.
$\lim_{x \rightarrow x_{0}^{-}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ 或 $\lim_{x \rightarrow x_{0}^{+}}$ $f(x)$ $=$ $\infty$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $x$ $=$ $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的垂直渐近线.
$\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ 或 $\lim_{x \rightarrow – \infty}$ $f(x)$ $=$ $a$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $y$ $=$ $a$ 是函数 $f(x)$ 的水平渐近线
$f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.
如果函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处有 $f”(x_{0})$ $=$ $0$, 或者，虽然 $f”(x_{0})$ 不存在，但函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续，那么，如果再可知，$f”(x)$ 在点 $x_{0}$ 的左右两侧邻域内异号，则可以判断，坐标点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.
如果函数 $f(x)$ 的【凹凸】性在过点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 的时候发生了改变，则称点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 是该函数的一个拐点.
关于什么是拐点，可以参考荒原之梦网的这篇文章：《什么是驻点和拐点？》
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f(\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f(x_{1}) + f(x_{2})}{2}$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ $f(x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.
若当 $x$ $\in$ $\mathring{U(x_{0})}$ 时，$f'(x)$ 不变号，则表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处一定不取得极值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $<$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大值.
当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $>$ $0$ 的时候，函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极小值.
注意：若 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $=$ $0$, 则极值不存在，因此，只有当 $f^{\prime \prime}(x_{0})$ $\neq$ $0$, 极值才【有可能】存在.
简明版：
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候，就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.
标准版：
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时，$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时，$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大（小）值. 其中，$\sigma$ $>$ $0$.
