曲率半径的公式（B005）

问题

设曲线 $y$ 的曲率为 $k$, 则以下哪个选项是其曲率半径 $R$ 的正确计算公式？

选项

[A]. $R$ $=$ $\frac{1}{k}$

[B]. $R$ $=$ $-k$

[C]. $R$ $=$ $k$

[D]. $R$ $=$ $\frac{-1}{k}$

$R$ $=$ $\frac{1}{k}$ $=$ $\frac{(1 + y’ ^{2})^{\frac{3}{2}}}{|y”|}$, $k$ $\neq$ $0$.

說明

关于曲率的计算方法可以查看荒原之梦网（zhaokaifeng.com）的这篇文章：

曲率的公式.

輔助圖像

曲率半径的公式 | 荒原之梦 — 图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的图像，紫色曲线和绿色曲线则分别是函数 $f(x)$ 在点 $(\frac{- \pi}{2}, -1)$ 和点 $(\frac{\pi}{2}, 1)$ 上的，半径均为 $1$ 的曲率圆.
其中，紫色曲率圆的方程式为 $(x + \frac{\pi}{2})^{2}$ $+$ $(y – 0)^{2}$ $=$ $1$, 绿色曲率圆的方程式为 $(x – \frac{\pi}{2})^{2}$ $+$ $(y – 0)^{2}$ $=$ $1$.