拐点存在的第二充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有三阶导函数,则以下哪个选项是点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的拐点的一个充分条件?

选项

[A].   $f”(x_{0})$ $\neq$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $=$ $0$

[B].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $=$ $0$

[C].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 或 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$

[D].   $f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$


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$f”(x_{0})$ $=$ $0$ 且 $f”'(x_{0})$ $\neq$ $0$ $\color{Red}{\Rightarrow}$ 点 $(x_{0}, f(x_{0}))$ 为函数 $f(x)$ 的一个拐点.


輔助圖像

拐点存在的第二充分条件 | 荒原之梦
图 01. 图中红色曲线表示函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的图像,蓝色曲线表示函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f”(x)$ $=$ $- \sin x$ 的图像,紫色曲线表示函数 $f(x)$ 的三阶导函数 $f”'(x)$ $=$ $- \cos x$ 的图像. 其中,坐标点 $(0,0)$ 为函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$ 的一个拐点.

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