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什么样的函数会存在原函数？（B006）

问题

根据【原函数的性质】判断原函数是否存在，以下哪个选项是正确的？

选项

[A]. 不连续函数一定存在原函数

[B]. 连续函数一定存在原函数

[C]. 不可导函数一定存在原函数

[D]. 可导函数一定存在原函数

连续函数一定存在原函数.

解释：
连续函数在其定义域上一定是可积的，因此，根据不定积分的定义可知，连续函数（该函数不一定处处可导）一定存在原函数.
此外，由于可导一定连续，因此，可导函数也一定存在原函数.

輔助圖像

什么样的函数会存在原函数 | 荒原之梦 — 图 01. 图中蓝色折线是函数 $f(x)$ $=$ $|x|$ 的图像，该函数在原点处并不可导，但是，由于该函数是处处连续的，可以在其定义域内计算其积分（图中紫色区域的面积即是函数 $f(x)$ 的积分值），因此，函数 $f(x)$ 也存在原函数，这个原函数就是图中红色曲线所对应的分段函数 $F(x)$ $=$ \begin{cases} & \frac{x^{2}}{2}, x \geqslant 0, \\ & \frac{-x^{2}}{2}, x < 0. \end{cases}.