曲线凹凸性的定义（B005）

问题

设函数

f (x)

在区间

U

上连续，

x_{1}

和

x_{2}

为区间

U

上的任意两点，则根据【曲线凹凸性的定义】，以下哪些选项是正确的？

选项

[A].

f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

>

\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}

\Rightarrow

f (x)

在区间

U

上是凹的.

[B].

f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

>

\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}

\Rightarrow

f (x)

在区间

U

上是凸的.

[C].

f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

<

\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}

\Rightarrow

f (x)

在区间

U

上是凸的.

[D].

f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

<

\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}

\Rightarrow

f (x)

在区间

U

上是凹的.

答案

$f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $<$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ $\Rightarrow$ $f (x)$ 在区间 $U$ 上是凹的.
$f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ $>$ $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ $\Rightarrow$ $f (x)$ 在区间 $U$ 上是凸的.

輔助圖像

曲线凹凸性的定义 | 荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示函数 $f (x)$ $=$ $(x + 1)^{3}$ $+$ $x^{2}$ 的图像，可以看到，图中存在凹凸区间。

问题

选项

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