高等数学基础归档 - 第43页共56页

问题

已知，【二阶】导函数

y ”

的【正负】能够反映原函数

y

的【凹凸性】，则以下说法正确的是哪一项？

选项

[A].

{\begin{cases} y ” > 0 \Rightarrow y 凹; \\ y ” < 0 \Rightarrow y 不 凹 不 凸; \end{cases}

[B].

{\begin{cases} y ” > 0 \Rightarrow y 凸; \\ y ” < 0 \Rightarrow y 凹; \end{cases}

[C].

{\begin{cases} y ” > 0 \Rightarrow y 凹; \\ y ” < 0 \Rightarrow y 凸; \end{cases}

[D].

{\begin{cases} y ” > 0 \Rightarrow y 不 凹 不 凸; \\ y ” < 0 \Rightarrow y 凸; \end{cases}

答案

${\begin{cases} y ” > 0 \Rightarrow y 凹; \\ y ” < 0 \Rightarrow y 凸; \\ y ” = 0 \Rightarrow y 不凹不凸 \end{cases}$

注意：

利用二阶导函数判断曲线凹凸性的前提是：函数在对应的闭区间内连续，在对应的开区间内二阶可导——例如，函数 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内具有二阶导函数，此时，我们就可以利用函数 $f (x)$ 的二阶导函数 $f ” (x)$ 判断其在区间 $[a, b]$ 上的凹凸性了。

问题

已知，【一阶】导函数

y^{'}

的【正负】能够反映原函数

y

的【单调性】，则以下说法正确的是哪一项？

选项

[A].

{\begin{cases} y^{'} > 0 \Rightarrow y 单 调 递 增; \\ y^{'} < 0 \Rightarrow y 单 调 递 减 . \end{cases}

[B].

{\begin{cases} y^{'} > 0 \Rightarrow y 不 增 不 减; \\ y^{'} < 0 \Rightarrow y 单 调 递 减 . \end{cases}

[C].

{\begin{cases} y^{'} > 0 \Rightarrow y 单 调 递 增; \\ y^{'} < 0 \Rightarrow y 不 增 不 减 . \end{cases}

[D].

{\begin{cases} y^{'} > 0 \Rightarrow y 单 调 递 减; \\ y^{'} < 0 \Rightarrow y 单 调 递 增 . \end{cases}

答案

${\begin{cases} y^{'} > 0 \Rightarrow y 单调递增; \\ y^{'} < 0 \Rightarrow y 单调递减; \\ y^{'} = 0 \Rightarrow y 不增不减 . \end{cases}$

问题

设有参数方程

{\begin{cases} x = a (t), \\ y = b (t) \end{cases}

, 该参数方程所确定的函数为

y

=

y (x)

, 其中

a^{'} (t)

和

b^{'} (t)

以及

a ” (t)

和

b ” (t)

均存在，且

a^{'} (t)

\neq

0

, 则该参数方程的二阶导数

y ”

=

?

选项

[A].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) + b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)}

[B].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{'} (t)}

[C].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 2} (t)}

[D].

\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)}

答案

$y ”$ $=$ $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{d}{d x}$ $\cdot$ $(\frac{d y}{d x})$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{d}{d t}$ $\cdot$ $(\frac{b^{'} (t)}{a^{'} (t)})$ $\cdot$ $\frac{d t}{d x}$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 2} (t)}$ $\cdot$ $\frac{1}{a^{'} (t)}$ $\Rightarrow$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ $=$ $\frac{b ” (t) a^{'} (t) - b^{'} (t) a ” (t)}{a^{' 3} (t)} .$

问题

设有参数方程

{\begin{cases} x = a (t), \\ y = b (t) \end{cases}

, 该参数方程所确定的函数为

y

=

y (x)

, 其中

a^{'} (t)

和

b^{'} (t)

均存在，且

a^{'} (t)

\neq

0

, 则

y^{'}

=

?

选项

[A].

\frac{b (t)}{a^{'} (t)}

[B].

\frac{a^{'} (t)}{b (t)}

[C].

\frac{a^{'} (t)}{b^{'} (t)}

[D].

\frac{b^{'} (t)}{a^{'} (t)}

答案

$y^{'}$ $=$ $\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{d y}{d t}$ $\cdot$ $\frac{d t}{d x}$ $=$ $\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}$ $=$ $\frac{b^{'} (t)}{a^{'} (t)}$

问题

设

F (x, y)

=

0

是一个可导的二元隐函数，则其导函数

y^{'}

=

?

选项

[A].

\frac{F_{y}^{'}}{F_{x}^{'}}

[B].

\frac{- F_{y}^{'}}{F_{x}^{'}}

[C].

\frac{F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}

[D].

\frac{- F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}

答案

$y^{'}$ $=$ $\frac{- F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}$

解释：
要对隐函数 $F (x, y)$ $=$ $0$ 求导，只需要在该函数的两边对 $x$ 求导，同时将 $y$ 看作中间变量，用复合函数的求导公式完成对 $y$ 中包含的 $x$ 的求导，过程如下：
$F_{x}^{'}$ $+$ $F_{y}^{'}$ $\cdot$ $\frac{d y}{d x}$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ $\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{- F_{x}^{'}}{F_{y}^{'}}$

什么是隐函数？（B003）

问题

根据隐函数的特征，以下哪个选项所表示的函数是隐函数？

选项

[A].

y

=

0

[B].

x

=

f (y)

[C].

y

=

f (x)

[D].

F (x, y)

=

0

答案

$F (x, y)$ $=$ $0$

说明：
所谓隐函数就是不能将自变量 $x$ 和因变量 $y$ 拆分开放在等号两边的函数，这类函数一般写成 $F (x, y)$ $=$ $0$ 的形式.

例如， $e^{x}$ $-$ $x y$ $-$ $1$ $=$ $0$ 就是一个隐函数，其函数图像如下图所示：
什么是隐函数|高等数学|荒原之梦

什么是反函数？（B003）

问题

下面关于【什么是反函数】的描述中，正确的是哪个选项？

选项

[A]. 将原函数中的

x

换成

y

, 将原函数中的

y

换成

x

所得到的就是反函数

[B]. 对原函数取负倒数，得到的就是反函数

[C]. 对原函数取倒数，所得到的就是反函数

[D]. 对原函数取负数，所得到的就是反函数

答案

将原函数中的自变量 $x$ 和因变量 $y$ 调换位置后，所得到的函数就是反函数，例如，函数 $y$ $=$ $x^{3}$ 的反函数是 $x$ $=$ $y^{3}$ . 如果将反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ 写成通常的形式，就是： $y$ $=$ $x^{\frac{1}{3}}$ .

示例图：
红色曲线表示函数 $y$ $=$ $x^{3}$ , 绿色曲线表示其反函数 $x$ $=$ $y^{3}$ :

反函数的求导法则（B003）

问题

设

x

=

ϕ (y)

是函数

y

=

f (x)

的反函数，则

ϕ^{'} (y)

=

?

选项

[A].

ϕ^{'} (y)

=

- f^{'} (x)

[B].

ϕ^{'} (y)

=

f^{'} (x)

[C].

ϕ^{'} (y)

=

\frac{- 1}{f^{'} (x)}

[D].

ϕ^{'} (y)

=

\frac{1}{f^{'} (x)}

答案

$ϕ^{'} (y)$ $=$ $\frac{d x}{d y}$ $=$ $\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$ $=$ $\frac{1}{f^{'} (x)}$

复合函数的求导法则（B003）

问题

设函数

f (u)

和

ϕ (x)

均可导，若

y

=

f (u)

u

=

ϕ (x)

, 则根据【复合函数求导法则】，复合函数

y

=

f [ϕ (x)]

的导数

y^{'}

=

?

选项

[A].

y^{'}

=

\frac{d y}{d x}

\cdot

\frac{d x}{d u}

[B].

y^{'}

=

\frac{d y}{d x}

\cdot

\frac{d u}{d x}

[C].

y^{'}

=

\frac{d y}{d u}

\cdot

\frac{d u}{d x}

[D].

y^{'}

=

\frac{d y}{d u}

答案

$y^{'}$ $=$ $\frac{d y}{d x}$ $=$ $\frac{d y}{d u}$ $\cdot$ $\frac{d u}{d x}$ $=$ $f^{'} [ϕ (x)]$ $\cdot$ $ϕ^{'} (x)$

补充：

复合函数求导法则，也称为复合函数求导的链式法则.

可微的充要条件（B003）

问题

以下哪个选项是函数

f (x)

在点

x_{0}

处可微的【充要】条件？

选项

[A].

f (x)

在点

x_{0}

处有函数值

[B].

f (x)

在点

x_{0}

处连续

[C].

f (x)

在点

x_{0}

处可导

[D].

f (x)

在点

x_{0}

处没有间断点

答案

函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导 $\Leftrightarrow$ 函数 $f (x)$ 在点 $x_{0}$ 处可微

莱布尼兹公式是什么？（B003）

问题

若函数

a (x)

和

b (x)

均

n

阶可导，则以下关于函数

a (x) \cdot b (x)

的

n

阶导【

(a b)^{(n)}

】，正确的是哪个选项？
（Tips：莱布尼兹公式是两个函数乘积的求导法则, 可用于计算两个函数乘积的高阶导数.）

选项

[A].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n + i))} b^{(i)}

[B].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

A_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

[C].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 1}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

[D].

(a b)^{(n)}

=

\sum_{i = 0}^{n}

C_{n}^{i}

a^{(n - i))} b^{(i)}

答案

$(a b)^{(n)}$ $=$ $\sum_{i = 0}^{n}$ $C_{n}^{i}$ $a^{(n - i))} b^{(i)}$ $=$ $C_{n}^{0}$ $a^{(n)} b^{(0)}$ $+$ $C_{n}^{1}$ $a^{(n - 1)} b^{'}$ $+$ $C_{n}^{2}$ $a^{(n - 2)} b^{”}$ $+$ $\dots$ $C_{n}^{k}$ $a^{(n - k)} b^{(k)}$ $+$ $\dots$ $+$ $C_{n}^{n}$ $a^{(0)} b^{(n)}$

组合的计算示例：
$C_{5}^{3}$ $=$ $\frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1}$ $=$ $10$

此外： $C_{n}^{0}$ $=$ $C_{n}^{n}$ $=$ $1$
$a^{(0)}$ $=$ $a$
$b^{(0)}$ $=$ $b$

$a r c c o t$ $x$ 的求导公式（B003）

问题

a r c c o t x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(a r c c o t x)^{'}

=

\frac{1}{1 - x^{2}}

[B].

(a r c c o t x)^{'}

=

\frac{- 1}{1 - x^{2}}

[C].

(a r c c o t x)^{'}

=

\frac{1}{1 + x^{2}}

[D].

(a r c c o t x)^{'}

=

\frac{- 1}{1 + x^{2}}

答案

$(a r c c o t x)^{'}$ $=$ $\frac{- 1}{1 + x^{2}}$

辅助图像：

arccot x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\arctan x$ 的求导公式（B003）

问题

\arctan x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\arctan x)^{'}

=

\frac{- 1}{1 + x^{2}}

[B].

(\arctan x)^{'}

=

\frac{1}{1 - x^{2}}

[C].

(\arctan x)^{'}

=

\frac{1}{1 + x^{2}}

[D].

(\arctan x)^{'}

=

\frac{- 1}{1 - x^{2}}

答案

$(\arctan x)^{'}$ $=$ $\frac{1}{1 + x^{2}}$

辅助图像：

arctan x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\arccos x$ 的求导公式（B003）

问题

\arccos x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\arccos x)^{'}

=

\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

[B].

(\arccos x)^{'}

=

\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

[C].

(\arccos x)^{'}

=

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

[D].

(\arccos x)^{'}

=

\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

答案

$(\arccos x)^{'}$ $=$ $\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

辅助图像：

arccos x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.

基本求导公式：

$\arcsin x$ 的求导公式（B003）

问题

\arcsin x

的求导公式是什么？

选项

[A].

(\arcsin x)^{'}

=

\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

[B].

(\arcsin x)^{'}

=

\frac{- 1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

[C].

(\arcsin x)^{'}

=

\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

[D].

(\arcsin x)^{'}

=

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

答案

$(\arcsin x)^{'}$ $=$ $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

辅助图像：

arcsin x 的求导公式-高等数学-荒原之梦 — 图 01. 红色曲线表示本题中原函数的图像，蓝色曲线表示本题中原函数的导函数图像.