荒原之梦 - 第93页共242页 - 专注于考研数学|高等数学|线性代数|概率统计

空间物体对质点的引力（B020）

问题

已知物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)$, $\Omega$ 外有一质点 $M_{0}$ $($ $x_{0}$, $y_{0}$, $z_{0}$ $)$, 其质量为 $m_{0}$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则该物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}$ $=$ $\{$ $F_{x}$, $F_{y}$, $F_{z}$ $\}$, 则 $F_{x}$ $=$ $?$, $F_{y}$ $=$ $?$, $F_{z}$ $=$ $?$

其中，以下选项中的 $G$ 为引力常数.

选项

[A].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

[B].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x+x_{0}\right)^{2}+\left(y+y_{0}\right)^{2}+\left(z+z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

[C].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]}$ $\mathrm{~d} v$.

[D].
$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

答案

$F_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(x-x_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(y-y_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$,
$F_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $\frac{G m_{0} \rho(x, y, z)\left(z-z_{0}\right)}{\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{\frac{3}{2}}}$ $\mathrm{~d} v$.

空间立体的转动惯量（B020）

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，设立体对 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$, $I_{z}$ $=$ $?$

选项

[A]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $z$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x$ $+$ $y$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[B]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[C]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho^{\prime}(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

[D]. $I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $z^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{\prime}$ $+$ $y^{\prime}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

答案

$I_{x}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $y^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{y}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $z^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$, $I_{z}$ $=$ $\iiint_{\Omega}$ $($ $x^{2}$ $+$ $y^{2}$ $)$ $\rho(x, y, z)$ $\mathrm{d} v$

平面薄片的转动惯量（B020）

问题

已知薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 且 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续，若设该薄片对于 $x$ 轴和 $y$ 轴的转动惯量分别为 $I_{x}$, $I_{y}$, 则 $I_{x}$ $=$ $?$, $I_{y}$ $=$ $?$

选项

[A]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[B]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho^{\prime}(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[C]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{\prime}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

[D]. $I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

答案

$I_{x}$ $=$ $\iint_{D}$ $y^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$, $I_{y}$ $=$ $\iint_{D}$ $x^{2}$ $\rho(x, y)$ $\mathrm{d} \sigma$

空间立体的质心坐标（B020）

问题

已知空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 且 $\rho(x, y, z)$ 在空间立体 $\Omega$ 上连续，则，该立体的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为多少？

选项

[A]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[B]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho^{\prime}(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[C]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

[D]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z^{2} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$, $\bar{z}$ $=$ $\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}$

平面薄片的质心坐标（B020）

问题

已知，平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 若 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续，则，薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为多少？

选项

[A]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho^{\prime}(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[B]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y^{\prime} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[C]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

[D]. $\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

答案

$\bar{x}$ $=$ $\frac{\iint_{D} x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$, $\bar{y}$ $=$ $\frac{\iint_{D} y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_{D} \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}$

空间曲面的面积（B020）

问题

已知曲面 $A$ 由方程 $z$ $=$ $f(x, y)$ 确定，平面区域 $D_{x y}$ 为曲面 $A$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影，且函数 $f(x, y)$ 在区域 $D_{x y}$ 上具有连续的偏导数 $f_{x}(x, y)$ 和 $f_{y}(x, y)$, 则曲面的面积 $S$ $=$ $?$

选项

[A]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1-\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[B]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[C]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

[D]. $S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

答案

$S$ $=$ $\iint_{D_{x y}}$ $\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}$ $\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$

曲顶柱体体积的计算（B020）

问题

已知，$D$ 是曲顶柱体 $\Omega$ 在三维直角坐标系 $x O y$ 面上的投影，那么，曲顶柱体 $\Omega$ 的体积 $V$ $=$ $?$

选项

[A]. $V$ $=$ $\iint_{D^{2}}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[B]. $V$ $=$ $-$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[C]. $V$ $=$ $\iint_{D}$ $z(x, y)$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

[D]. $V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

答案

$V$ $=$ $\iint_{D}$ $|$ $z(x, y)$ $|$ $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

第二类曲面积分中积分区域的方向性（B019）

问题

已知 $\Sigma$ 为有向曲面，$\Sigma^{-}$ 与 $\Sigma$ 的法向量相反，则，根据第二类曲面积分中积分区域的方向性，以下选项中，正确的是哪个？

选项

[A]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\frac{1}{\Sigma}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

答案

$\begin{cases} \iint_{\Sigma^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=-\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, \\ \iint_{\Sigma^{-}} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x=-\iint_{\Sigma} Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \\ \iint_{\Sigma^{-}} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{\Sigma} R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y. \end{cases}$

第二类曲面积分的积分区域可加性（B019）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$ , 则，根据第二类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $P$ $\mathrm{~d} y$ $\mathrm{~d} z$

第一类曲面积分的积分区域可加性（B018）

问题

已知积分区域 $\Sigma$ $=$ $\Sigma_{1}$ $+$ $\Sigma_{2}$, 则，根据第一类曲面积分的性质，$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{1}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\frac{1}{\Sigma_{2}}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $\times$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $-$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $=$ $\iint_{\Sigma_{1}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$ $+$ $\iint_{\Sigma_{2}}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} S$

第一类曲面积分中被积函数为 $1$ 时的性质（B018）

问题

已知被积函数 $f(x, y, z)$ $=$ $1$, $S$ 为积分区域 $\Sigma$ 的面积，则 $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $\frac{1}{S}$

[B]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{3}$

[C]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S^{2}$

[D]. $\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

答案

$\iint_{\Sigma}$ $1$ $\mathrm{~d} s$ $=$ $S$

第二类曲线积分中常数的运算性质/线性（B017）

问题

已知 $\alpha$ 和 $\beta$ 为常数，则 $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $\times$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\frac{1}{\alpha}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\frac{1}{\beta}$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\big[$ $\alpha$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $+$ $\beta$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\big]$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\alpha$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{1}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\beta$ $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}_{2}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径的可加性（B017）

问题

已知，有向曲线弧 $L$ 可分成两段光滑的有向曲线弧 $L_{1}$ 和 $L_{2}$, 则 $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $-$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[B]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[C]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{\frac{1}{L_{1}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{\frac{1}{L_{2}}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

[D]. $\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L + L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L + L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

答案

$\int_{L}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $=$ $\int_{L_{1}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ $+$ $\int_{L_{2}}$ $\boldsymbol{F}(x, y)$ $\cdot$ $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$

第二类曲线积分中积分路径相反时的转换方式/有向性（B017）

问题

已知第二类曲线积分中的积分路径 $L$ 为有向曲线弧，$L^{-}$ 为与 $L$ 方向相反的曲线，则，当积分路径分别为 $L$ 和 $L^{-}$ 时，以下等式所对应的转换关系正确的是哪个？

选项

[A]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{\frac{1}{L^{-}}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[B]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[C]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

[D]. $\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=\frac{1}{\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x}, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=\frac{1}{\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y}. \end{cases}$

答案

$\begin{cases} \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=-\int_{L^{-}} P(x, y) \mathrm{d} x, \\ \int_{L} Q(x, y) \mathrm{d} y=-\int_{L^{-}} Q(x, y) \mathrm{d} y. \end{cases}$

第一类曲线积分中的轮换对称性（被积函数为三元函数）（B016）

问题

如果第一类曲线积分中的积分路径 $\Gamma$（一条空间曲线）关于变量 $x$ 和 $y$ 具有轮换对称性，则当被积函数为 $f(x, y, z)$ 时，第一类曲线积分 $\int_{L}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $?$

选项

[A]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $\times$ $f(z, x, y)$ $\times$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[B]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[C]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $-$ $f(z, x, y)$ $-$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

[D]. $\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$

答案

$\int_{\Gamma}$ $f(x, y, z)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(z, x, y)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\int_{\Gamma}$ $f(y, z, x)$ $\mathrm{d} s$ $=$ $\frac{1}{3}$ $\cdot$ $\int_{\Gamma}$ $[$ $f(x, y, z)$ $+$ $f(z, x, y)$ $+$ $f(y, z, x)$ $]$ $\mathrm{d} s$