分类： 考研数学

一、题目

已知，$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2, & x>0, \\ \frac{1}{2}, & x=0, \\ -\frac{1}{2}, & x<0,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=?$

难度评级：

继续阅读“千万别绕进去：自己复合自己的复合函数”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty)$, $f(x+2)-$ $f(x)=f(2)$, 若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=?$

难度评级：

继续阅读“一个函数既是奇函数又是周期函数，可能会有什么样的性质？”

题目 07

若：

$$
f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t
$$

则：

$$
I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 07

解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \left[\int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t+x \cdot \frac{\sin x^{2}}{x}\right] \mathrm{~ d} x
$$

别忘了把括号外面的 “$\textcolor{springgreen}{ x }$” 乘进去：

$$
I=-\int_{0}^{1}\left[\textcolor{springgreen}{ x } \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} x \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin x^{2} \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\left.\frac{+1}{4} \cos x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\cos 1-\cos 0}{4} \Rightarrow
$$

$$
I = \frac{\cos 1 – 1}{4}
$$

---

题目 08

$$
I=\int \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=?
$$

解析 08

本题主要解题思路为：对反三角函数做整体代换、分部积分。

$$
t=\arcsin x \Rightarrow x=\sin t
$$

由于 $\arccos x$ 和 $\arcsin x$ 只相差 $\frac{\pi}{2}$:

$$
\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=\frac{\pi}{2}-t
$$

又：

$$
\mathrm{~d} x=\cos t \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
I=\int t \cdot\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int t\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \mathrm{~d} (\sin t) \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=(\sin t) \cdot t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\int \sin t\left(\frac{\pi}{2}-2 t\right) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

拆分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\left[\frac{\pi}{2} \int \sin t \mathrm{~d} t-2 \int t \sin t \mathrm{~d} t\right] \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t-2 \int t \mathrm{~d} (\cos t) \Rightarrow
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } \left[t \cos t-\int \cos t \mathrm{~d} t\right]
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } t \cos t + \textcolor{red}{ 2 } \sin t + C \Rightarrow
$$

Tips:

如上标红所示的位置，括号外面的 “$\textcolor{red}{ 2 }$” 是很容易在计算的过程中被忘掉的。

又：

$$
t=\arcsin x \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=(\arcsin x) x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right) \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=x \arcsin x \cdot \arccos x
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \cos (\arcsin x)
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}}
$$

于是：

$$
I=
$$

$$
x \arcsin x \cdot \arccos x+\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}} + 2 x+C
$$

---

一、前言

$$
\textcolor{orangered}{
\cos (\arcsin x) = ?
}
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\sin (\arccos x)= ?
}
$$

继续阅读“cos(arcsin x) 和 sin(arccos x) 等于多少？”

题目 02

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 02

解法一

令：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \mathrm{~ d} x=2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\int \frac{1}{\left(4+4 \tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{16\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}} \cdot 2 \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{4} \theta \cdot \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int(1+\cos 2 \theta) \mathrm{~ d} \theta \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right] \Rightarrow I=\frac{1}{16}[\theta+\sin \theta \cos \theta]
$$

又：

$$
x=2 \tan \theta \Rightarrow \frac{x}{2}=\tan \theta \Rightarrow \theta=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+
$$

$$
\sin \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] \times \cos \left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right)\right] +C \Rightarrow
$$

又由 这篇文章 可知：

$$
I=\frac{1}{16}\left[\arctan \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{x}{\sqrt{4+x^{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{4+x^{2}}} \right] + C \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}} + C
$$

解法二

$$
I=\int \frac{1}{\left(x^{2}+4\right)^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\int \frac{1}{\left[4\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)\right]^{2}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \times 2 \int \frac{1}{\left[1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}\right]^{2}} \mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

令：

$$
\frac{x}{2}=\tan ^{2} \Rightarrow t=\arctan \left(\frac{x}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
1+\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=1+\tan ^{2} t=\frac{1}{\cos s^{2} t}
$$

$$
\mathrm{~ d}\left(\frac{x}{2}\right)=\mathrm{~ d} (\tan t)=\frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

则：

$$
I=\frac{1}{8} \int \frac{1}{\frac{1}{\cos ^{4} t}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{8} \int \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t=\frac{1}{8} \times \frac{1}{2} \int(1+\cos 2 t) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16}[t+\sin 2 t]+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} t+\frac{2}{16} \sin t \cos t+c \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{16} \arctan \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{8} \frac{x}{4+x^{2}}+c .
$$

解法三

对于这类“平方嵌套平方”的积分，甚至“$n$ 次方嵌套平方”的积分，我们还可以直接套用下面的这个公式，只是这个公式有一点复杂：

$$
\int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n}}=
$$

$$
\frac{x}{2(n-1) a^{2}\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}+\frac{2 n-3}{2(n-1) a^{2}} \int \frac{\mathrm{~ d} x}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{n-1}}
$$

---

题目 10

已知，$f(x)$ 为非负的连续函数，且 $f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的平均值是多少？

解析 10

令：

$$
u=x-t \Rightarrow t=x-u \Rightarrow t \in(x, 0) \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

则：

$$
\int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=-\int_{x}^{0} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u
$$

于是：

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x) \cdot \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right] \mathrm{~ d} x=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

又：

$$
\left\{\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right\}^{\prime}=2 \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u \cdot f(x)
$$

于是：

$$
\left.\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right|_{0=x} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
{\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}=\frac{3 \pi}{8} \Rightarrow}
$$

综上：

$$
\frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u}{\frac{\pi}{2}-0}=\sqrt{\frac{3 \pi}{8}} \times \frac{2}{\pi} = \sqrt{ \frac{3\pi}{8} \times \frac{4}{\pi^{2}}} =\sqrt{\frac{3}{2 \pi}}
$$

---

题目 08

$$
I=\int \frac{x}{x^{3}-x^{2}+x-1} \mathrm{~ d} x = ?
$$

解析 08

用十字相乘法进行拆分：

$$
x^{3}-x^{2}+x-1 \Rightarrow
$$

$$
(x \quad \quad) \cdot\left(x^{2} \quad \quad \right) \Rightarrow x^{3} \Rightarrow
$$

$$
(x-1) \cdot\left(x^{2}\quad \quad \right) \Rightarrow x^{3}-x^{2} \Rightarrow
$$

$$
(x-1) \cdot\left(x^{2}+1\right) \Rightarrow x^{3}-x^{2}+x-1
$$

于是：

$$
\frac{x}{x^{3}-x^{2}+x-1}=\frac{x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=
$$

待定系数变乘法为加减法：

$$
\frac{A}{x-1}+\frac{B x+ C}{x^{2}+1} \Rightarrow
$$

$$
\frac{A\left(x^{2}+1\right)+(B x+ C)(x-1)}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)}=\frac{x}{(x-1)\left(x^{2}+1\right)} \Rightarrow
$$

$$
A x^{2}+A+B x^{2}-B x+ C x-C=x \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}A+B=0 \\ C-B=1 \\ A-C=0\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A+B=0 \\ A-B=1\end{array} \Rightarrow\right. \left\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2} \\ B=\frac{-1}{2} \\ C=\frac{1}{2}\end{array}\right.
$$

于是：

$$
I=\int\left(\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{-1}{2} x+\frac{1}{2}}{x^{2}+1}\right) \mathrm{~ d} x
$$

$$
I=\frac{1}{2} \int \frac{1}{x-1} \mathrm{~ d} x+\frac{1}{2} \int \frac{1-x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2}\left[\int \frac{1}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x-\int \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x\right]=
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2} \arctan x-\frac{1}{2} \int \frac{x}{x^{2}+1} \mathrm{~ d} x .
$$

$$
I=\frac{1}{2} \ln |x-1|+\frac{1}{2} \arctan x-\frac{1}{4} \ln \left(x^{2}+1\right)+ C
$$

一、前言

你是否被下面两个式子的困惑过：

$$
\sin (\arctan x) = ?
$$

$$
\cos (\arctan x) = ?
$$

在荒原之梦网之前的文章中，曾就这类问题做过详细的推理演算（详情请点击这里），现在，只需要看懂一张图，马上就明白了！

继续阅读“sin(arctan x) 和 cos(arctan x) 怎么算？一张图让你秒懂！”

一、题目

已知，$f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ 则 $x = 0$ 和 $x = 1$ 是该函数的什么间断点？

难度评级：

继续阅读“第一类间断点没有无穷也不震荡，除此之外的都是第二类间断点”

一、题目

已知，$f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 为无穷小 $x$ 的几阶无穷小？

难度评级：

继续阅读“求一次导会降一阶，但千万别忘了求导前的阶数”

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$

难度评级：

继续阅读“等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？”

一、题目

已知，$I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$, 则 $a = ?$, $b=?$

难度评级：

继续阅读“求导一定要彻底，特别是对于两个式子相乘的情况”