题目 07
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I=\int \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x = ?
$$
解析 07
本题主要解题思路为：”$e^{x}$” 一般对应着凑微分，因此可以尝试凑微分进而分部积分——
只要在尝试计算的过程中，计算的复杂度没有明显的提升，或者已经显露出一些有规律的痕迹，就可以继续尝试计算——考研数学题都是经过精心设计的题目，如果越计算越复杂，只能说明选择的解题方向不对，或者计算出错。
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I=\int \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=\int \frac{e^{x}+e^{x} \sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=
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\int \frac{e^{x}}{1+\cos x} \mathrm{~d} x+\int \frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x=
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\int \frac{e^{x}}{1+\cos x} \mathrm{~d} x+\int \frac{\sin x}{1+\cos x} \mathrm{~d} \left(e^{x}\right)=
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分部积分：
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\int \frac{e^{x}}{1+\cos x}+\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}-\int e^{x} \cdot \frac{\cos x(1+\cos x)+\sin ^{2} x}{(1+\cos x)^{2}} \mathrm{~d} x =
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\int \frac{e^{x}}{1+\cos x}+\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}-\int \frac{e^{x}(\cos x+1)}{(1+\cos x)^{2}} \mathrm{~d} x \Rightarrow
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I = \int \frac{e^{x}}{1+\cos x}+\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}-\int \frac{e^{x}}{(1+\cos x)} \mathrm{~d} x \Rightarrow
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I=\frac{e^{x} \sin x}{1+\cos x}+C
$$