典型例题汇总:不定积分(凑微分、分部积分、一般有理式积分,三角函数有理式积分等)

一、前言 前言 - 荒原之梦

本文中汇总了考研数学不定积分部分的典型例题,以及由荒原之梦网(zhaokaifeng.com)原创撰写的解题步骤。

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题目 01

已知 $\int f^{\prime}(\sqrt{x}) \mathrm{~ d} x=x\left(e^{\sqrt{x}}+1\right)+ C$, 则 $f(x)=?$

解析 01

$$
\int f^{\prime}(\sqrt{x}) \mathrm{~ d} x=x\left(e^{\sqrt{x}}+1\right)+ C \Rightarrow
$$

利用求导去积分符号:

$$
f^{\prime}(\sqrt{x})=\left[x\left(e^{\sqrt{x}}+1\right)+ C\right]^{\prime}=
$$

$$
e^{\sqrt{x}}+1+x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} e^{\sqrt{x}}=
$$

$$
e^{\sqrt{x}}+1+\frac{\sqrt{x}}{2} e^{\sqrt{x}} \Rightarrow
$$

整体代换:

$$
t=\sqrt{x} \Rightarrow f^{\prime}(t)=e^{t}+1+\frac{t}{2} e^{t} \Rightarrow
$$

$$
f(t)=e^{t}+t+\frac{1}{2} \int t e^{t} \mathrm{~ d} t
$$

又:

$$
\left(t e^{t}-e^{t}\right)^{\prime}=e^{t}+t e^{t}-e^{t}=t e^{t}
$$

于是:

$$
f(t)=e^{t}+t+\frac{1}{2}\left(t e^{t}-e^{t}\right)+ C \Rightarrow
$$

$$
f(t)=\frac{1}{2}\left(e^{t}+t e^{t}\right)+t+ C \Rightarrow
$$

$$
f(t)=\frac{e^{t}}{2}(1+t)+t+ C
$$

即:

$$
f(x)=\frac{e^{x}}{2}(1+x)+x+ C
$$

注意区分积分变量:

$$
\int f^{\prime}(\sqrt{x}) \textcolor{orangered}{ \mathrm{~ d} x } \neq f(\sqrt{x})+ C
$$

$$
\int f^{\prime}(\sqrt{x}) \textcolor{springgreen}{ \mathrm{~ d} (\sqrt{x}) } = f(\sqrt{x})+ C
$$