等差数列和等比数列的前 n 项和公式你还记得吗？

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=?
$$

难度评级：

二、解析

公差为 $d$ 的等差数列前 $n$ 项和：

$$
S_{n} = \frac{n(a_{1} + a_{n})}{2} = na_{1} + \frac{n(n-1) d}{2}
$$

公差为 $d$ 的等差数列第 $n$ 项表达式：

$$
a_{n} = a_{1} + (n-1)d
$$

公比为 $q$ 的等比数列前 $n$ 项和：

$$
S_{n} = \frac{a_{1} (1-q^{n})}{1-q}
$$

公比为 $q$ 的等比数列第 $n$ 项表达式：

$$
a_{n} = a_{1} q^{n-1}
$$

令：

$$
I_{1}=\frac{1+2+3+\cdots+n}{n^{2}+n+1}=
$$

$$
\frac{\frac{1}{2} n(n+1)}{n^{2}+n+1}=
$$

$$
\frac{1}{2} \frac{n^{2}+n}{n^{2}+n+1}=\frac{1}{2} \frac{n^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2} \geqslant I
$$

又令：

$$
I_{2}=\frac{1+2+ \cdots + n}{n^{2}+n+n}=
$$

$$
\frac{\frac{1}{2} n(n+1)}{n^{2}+n+n}=
$$

$$
\quad \frac{1}{2} \frac{n^{2}+n}{n^{2}+2 n}=\frac{1}{2} \frac{n^{2}}{n^{2}}=\frac{1}{2} \leqslant I
$$

于是：

$$
I_{2} \leqslant I \leqslant I_{1} \Rightarrow \frac{1}{2} \leqslant I \leqslant \frac{1}{2} \Rightarrow I = \frac{1}{2}
$$

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