典型例题汇总:定积分(奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现)

一、前言 前言 - 荒原之梦

在本文中,荒原之梦网汇总了涉及考研数学定积分的典型例题,覆盖了绝大部分考研数学一重定积分部分常见的解题方法。

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题目 01

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{2} x+\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~ d} t\right) \sin ^{2} x \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 01

遇到对称的积分上下限,先看一下是否有奇偶性可用:

$$
e^{-t^{2}} \Rightarrow \text{ 偶函数 } \Rightarrow \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~ d} t \Rightarrow \text{ 奇函数}
$$

于是:

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left[\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} x=0 \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \sin ^{2} x \mathrm{~ d} x=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x\left(1-\cos ^{2} x\right) \mathrm{~ d} x
$$

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{2} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos ^{2} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=2\left(1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=2 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{8}
$$