题目 05
$$
I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~ d} x
$$
解析 05
解题方法：只有 $\sin$ 且不好求解的时候，可以用 $\cos$ 对原式进行扩展——当积分区间为 $(0, \frac{\pi}{2})$ 时可以尝试这种方法，因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 在 $(0, \frac{\pi}{2})$ 上的定积分相等。
由于：
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin x \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~ d} x
$$
因此：
$$
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\ln \sin x+\ln \cos x) \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x \cdot \cos x) \mathrm{~ d} x=
$$
用三角函数倍角公式的时候一定要注意常数系数的改变：
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{\sin 2 x}{\textcolor{orangered}{ 2 }}\right) \mathrm{~ d} x =
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[(\ln \sin 2 x)-\ln 2] \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin 2 x \mathrm{~ d} x-\frac{1}{2} \ln 2 \cdot \frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
令：
$$
t=2 x
$$
则：
$$
I=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \ln \sin t \mathrm{~ d} t-\frac{\pi \ln 2}{4} \Rightarrow
$$
凑原来的区间：
$$
I=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~ d} t + \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin t \mathrm{~ d} t } – \frac{\pi \ln 2}{4}
$$
为了使 $\textcolor{springgreen}{ \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin t \mathrm{~ d} t }$ 的区间变为 $(0, \frac{\pi}{2})$, 我们令：
$$
u=t-\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=u+\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
$$
t \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \Rightarrow u \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)
$$
于是：
$$
\textcolor{springgreen}{ \frac{1}{4} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \ln \sin t \mathrm{~ d} t }=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin \left(u+\frac{\pi}{2}\right) \mathrm{~ d} u =
$$
奇变偶不变，符号看象限：
$$
\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos u \mathrm{~ d} u=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos t \mathrm{~ d} t
$$
于是：
$$
I=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~ d} t+\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos t \mathrm{~ d} t-\frac{\pi \ln 2}{4} \Rightarrow
$$
$$
\textcolor{orangered}{
I=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[\ln (\sin t \cdot \cos t)] \mathrm{~ d} t-\frac{\pi \ln 2}{4}
}
$$
又：
$$
\textcolor{yellow}{
I=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin t \cdot \cos t) \mathrm{~ d} t
}
$$
因此：
$$
I=\frac{1}{2} I-\frac{\pi \ln 2}{4} \Rightarrow
$$
$$
I=-2 \times \frac{\pi \ln 2}{4}=\frac{-\pi \ln 2}{2}
$$