考研数学不定积分补充例题

题目 08

$$
I=\int \arcsin x \cdot \arccos x \mathrm{~d} x=?
$$

解析 08

本题主要解题思路为：对反三角函数做整体代换、分部积分。

$$
t=\arcsin x \Rightarrow x=\sin t
$$

由于 $\arccos x$ 和 $\arcsin x$ 只相差 $\frac{\pi}{2}$:

$$
\arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x=\frac{\pi}{2}-t
$$

又：

$$
\mathrm{~d} x=\cos t \mathrm{~d} t
$$

于是：

$$
I=\int t \cdot\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \cos t \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

$$
I=\int t\left(\frac{\pi}{2}-t\right) \mathrm{~d} (\sin t) \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=(\sin t) \cdot t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\int \sin t\left(\frac{\pi}{2}-2 t\right) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$

拆分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)-\left[\frac{\pi}{2} \int \sin t \mathrm{~d} t-2 \int t \sin t \mathrm{~d} t\right] \Rightarrow
$$

分部积分：

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t-2 \int t \mathrm{~d} (\cos t) \Rightarrow
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } \left[t \cos t-\int \cos t \mathrm{~d} t\right]
$$

$$
I=t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\frac{\pi}{2} \cos t – \textcolor{red}{ 2 } t \cos t + \textcolor{red}{ 2 } \sin t + C \Rightarrow
$$

Tips:

如上标红所示的位置，括号外面的 “$\textcolor{red}{ 2 }$” 是很容易在计算的过程中被忘掉的。

又：

$$
t=\arcsin x \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=(\arcsin x) x\left(\frac{\pi}{2}-\arcsin x\right) \Rightarrow
$$

$$
t \sin t\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=x \arcsin x \cdot \arccos x
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \cos (\arcsin x)
$$

$$
\frac{\pi}{2} \cos t-2 t \cos t=\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}}
$$

于是：

$$
I=
$$

$$
x \arcsin x \cdot \arccos x+\left(\frac{\pi}{2}-2 \arcsin x\right) \sqrt{1-x^{2}} + 2 x+C
$$

---