高等数学定积分补充例题（三角代换、扩展的点火公式、区间再现、分部积分、sin 不够用 cos 来凑）

题目 07

若：

$$
f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t
$$

则：

$$
I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x=?
$$

解析 07

解题方法：变上限积分几乎一定会涉及求导，而分部积分中刚好有求导的步骤，因此，含有变上限积分的题目，通常需要先凑分部积分。

$$
\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x=\left.x f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \left[\int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t+x \cdot \frac{\sin x^{2}}{x}\right] \mathrm{~ d} x
$$

别忘了把括号外面的 “$\textcolor{springgreen}{ x }$” 乘进去：

$$
I=-\int_{0}^{1}\left[\textcolor{springgreen}{ x } \int_{1}^{x} \frac{\sin t^{2}}{t} \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} \textcolor{springgreen}{ x } \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} x-\int_{0}^{1} x \sin x^{2} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

$$
I=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin x^{2} \mathrm{~ d} \left(x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
I=\left.\frac{+1}{4} \cos x^{2}\right|_{0} ^{1}=\frac{\cos 1-\cos 0}{4} \Rightarrow
$$

$$
I = \frac{\cos 1 – 1}{4}
$$

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