题目 02
$$
I=\int_{0}^{6} x^{2} \sqrt{6 x-x^{2}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 02
解题方法：变形之后用三角代换去根号、奇偶性。
已知：
$$
(x-3)^{2}=x^{2}+9-6 x \Rightarrow
$$
$$
-(x-3)^{2}=6 x-x^{2}-9 \Rightarrow
$$
$$
9-(x-3)^{2}=6 x-x^{2} \Rightarrow
$$
于是，令：
$$
x-3=3 \sin t \Rightarrow \sqrt{6 x-x^{2}}=\sqrt{9-(x-3)^{2}}=
$$
$$
\sqrt{9-9 \sin ^{2} t}=3 \cos t
$$
$$
x=3 \sin t+3 \Rightarrow x^{2}=9(\sin t+1)^{2} \Rightarrow
$$
$$
x^{2}=9\left(\sin ^{2} t+1+2 \sin t\right) \Rightarrow
$$
$$
x \in(0,6) \Rightarrow x-3 \in(-3,3) \Rightarrow
$$
$$
3 \sin t \in(-3,3) \Rightarrow t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
$$
于是：
$$
I=\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 9\left(\sin ^{2} t+1+2 \sin t\right) \cdot 3 \cos t \cdot 3 \cos t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=81 \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{2} t+1+2 \sin t\right) \cos ^{2} t \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$2 \sin t \cos^{2} t$ 是奇函数，可以舍去：
$$
I=81 \int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{2} t \cos ^{2} t+\cos ^{2} t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=81 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t\left(\sin ^{2} t+1\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=81 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin ^{2} t\right)\left(1+\sin ^{2} t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=81 \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(1-\sin ^{4} t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$
$$
I=81 \times 2 \times\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow
$$
$$
I=81 \times 2 \times \frac{5}{8} \times \frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{405 \pi}{8}
$$