题目 02
$$
I=\int \frac{3 x+2}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~d} x = ?
$$
解析 02
本题主要解题思路为：待定系数。
$$
I=\int \frac{3 x+2}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{~d} x \Rightarrow \frac{3 x+2}{x\left(1+x^{2}\right)} \Rightarrow
$$
$$
\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{1+x^{2}}=\frac{3 x+2}{x\left(1+x^{2}\right)} \Rightarrow
$$
$$
A\left(1+x^{2}\right)+x(B x+C)=3 x+2 \Rightarrow
$$
$$
A+A x^{2}+B x^{2}+C x=3 x+2 \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
A+B=0 \\ C=3 \\ A=2
\end{array}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
A=2 \\ B=-2 \\ C=3
\end{array}\right.
$$
于是：
$$
\frac{3 x+2}{x\left(1+x^{2}\right)}=\frac{2}{x}+\frac{-2 x+3}{1+x^{2}}=\frac{2}{x}-\frac{2 x}{1+x^{2}}+\frac{3}{1+x^{2}}
$$
$$
I=\int\left(\frac{2}{x}-\frac{2 x}{1+x^{2}}+\frac{3}{1+x^{2}}\right) \mathrm{~d} x \Rightarrow
$$
$$
I=2 \ln |x|-\ln \left|x^{2}+1\right|+3 \arctan x+C \Rightarrow
$$
$$
I=2 \ln |x|-\ln \left(x^{2}+1\right)+3 \arctan x+C
$$