典型例题汇总：定积分（奇偶性、几何意义、三角代换、区间再现）

题目 10

已知，$f(x)$ 为非负的连续函数，且 $f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上的平均值是多少？

解析 10

令：

$$
u=x-t \Rightarrow t=x-u \Rightarrow t \in(x, 0) \Rightarrow
$$

$$
\mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

则：

$$
\int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=-\int_{x}^{0} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u
$$

于是：

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(x-t) \mathrm{~ d} t=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
f(x) \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\cos ^{4} x \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} x=\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{~ d} x\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[f(x) \cdot \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right] \mathrm{~ d} x=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

又：

$$
\left\{\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right\}^{\prime}=2 \int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u \cdot f(x)
$$

于是：

$$
\left.\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}\right|_{0=x} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{3 \pi}{16} \Rightarrow
$$

$$
{\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u\right]^{2}=\frac{3 \pi}{8} \Rightarrow}
$$

综上：

$$
\frac{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(u) \mathrm{~ d} u}{\frac{\pi}{2}-0}=\sqrt{\frac{3 \pi}{8}} \times \frac{2}{\pi} = \sqrt{ \frac{3\pi}{8} \times \frac{4}{\pi^{2}}} =\sqrt{\frac{3}{2 \pi}}
$$

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