标签： 线性代数练习题

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $|A| = \frac{1}{2}$, 则行列式：

$$
|(2 A)^{-1} – (2A)^{*}| = ?
$$

难度评级：

继续阅读“当抽象矩阵的逆运算和伴随矩阵运算出现常数该怎么处理？”

一、题目

设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ($\quad$)

难度评级：

继续阅读“矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1”

一、题目

已知 $3$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{2} – A – 2E = O$, 且 $|A| = 2$. 将 $A$ 的第 $1$ 列的 $2$ 倍加到第 $3$ 列，再将第 $3$ 行的 $-2$ 倍加到第 $1$ 行得 $B$, 则 $|B + 3 E| = ?$

难度评级：

继续阅读“对抽象矩阵的运算可以转换为对该矩阵特征值的运算”

一、题目

已知二次型 $f(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ $=$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ $+$ $(x_{1} – 2x_{3})^{2}$ $+$ $(x_{2} + a x_{3})^{2}$ 的规范型为 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$, 则 $a = ?$

难度评级：

继续阅读“二次型的规范型不仅反映了二次型矩阵特征值的正负，还反映了二次型矩阵的秩”

一、题目

若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，请证明 $AB$ 也为正定矩阵的充要条件是 $AB = BA$

难度评级：

继续阅读“使正定矩阵 A 和 B 相乘所得的矩阵也是正定矩阵的充要条件是什么？”

一、题目

已知 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，且 $|A+E| = 1$, $A+2E = 1$, $|A+3E| = 1$, 则 $A+4E = ?$

难度评级：

继续阅读“通过转化为函数的方式求解抽象行列式的值”

一、题目

已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，非齐次线性方程组 $Ax = \beta$ 有唯一解，请证明矩阵 $A^{\top} A$ 是正定矩阵。

难度评级：

继续阅读“什么样的矩阵乘以其转置矩阵得正定矩阵？”

一、题目

已知，$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。

难度评级：

继续阅读“正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？”

一、题目

下列矩阵中为正定矩阵的是哪一个？

难度评级：

继续阅读“不对称的矩阵不是正定矩阵，主对角线上有负数或者零元素的矩阵也不是正定矩阵”

一、题目

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3}+2 A^{2}=O$, 请判断矩阵 $A+E$ 的可逆性。

难度评级：

继续阅读“判断抽象矩阵的可逆性：矩阵越乘零越多”

一、题目

下列选线那个中，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似的是哪个？

(A) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(B) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 5\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2\end{array}\right]$

(C) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

(D) $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & -3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & -2\end{array}\right]$

难度评级：

继续阅读“不具有什么关系的两个矩阵一定不是相似矩阵？”

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 3 & 2 & a \\ 2 & 7 & a & 3 \\ 0 & a & 5 & -5\end{array}\right]$, 若 $r(\boldsymbol{A})=2$, 则 $a=?$

难度评级：

继续阅读“无论方阵还是非方阵：秩为 2 就说明所有三阶子式的值全为零”

一、题目

已知：

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{1}=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

$$
\boldsymbol{P}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

则必有：

(A) $A \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2}=\boldsymbol{B}$

(B) $\boldsymbol{A} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1}=\boldsymbol{B}$

(C) $\boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

(D) $\boldsymbol{P}_{2} \boldsymbol{P}_{1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{B}$

难度评级：

继续阅读“单位矩阵对矩阵的影响：左行右列，先近后远”

一、题目

若 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 则下面不正确的运算是哪个？

(A) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{-1}=\frac{1}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}$

(B) $\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1}$

(C) $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)^{*}=|\boldsymbol{A}|^{n-2} \boldsymbol{A}$

(D) $(k \boldsymbol{A})^{*}=k \boldsymbol{A}^{*}$

难度评级：

继续阅读“伴随矩阵的运算性质你掌握了吗？”