题目 06
已知：
$$
f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~ d} t
$$
则：
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~ d} x=?
$$
解析 06
分母中存在根号是或许可以使用分部积分的一个标志：
$$
(\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow
$$
$$
I=\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~ d} x=2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~ d} (\sqrt{x}) \Rightarrow
$$
$$
I=2\left[\left.\sqrt{x} f(x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \sqrt{x} f^{\prime}(x) \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$
$$
I=2\left[0-0-\int_{0}^{1} \sqrt{x} \cdot \frac{\ln (1+x)}{x} \mathrm{~ d} x\right] \Rightarrow
$$
再次用分部积分：
$$
I=-2 \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$
$$
I=-2 \times 2 \int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{~ d} (\sqrt{x}) \Rightarrow
$$
$$
I=-4\left[\left.\sqrt{x} \ln (1+x)\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} \sqrt{x} \frac{1}{1+x} \mathrm{~ d} x\right]
$$
$$
I=-4\left[\ln 2-\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~ d} x\right]
$$
对含有根号的部分做整体代换：
$$
t=\sqrt{x} \Rightarrow t^{2}=x \Rightarrow x \in(0,1) \Rightarrow t^{2} \in(0,1) \Rightarrow
$$
$$ \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{1+x} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{1} \frac{t}{1+t^{2}} \cdot 2 t \mathrm{~ d} t=
$$
$$ 2 \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=2 \int_{0}^{1} \frac{t^{2}+1-1}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t=
$$
$$ 2\left[\int_{0}^{1} 1 \mathrm{~ d} t-\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \mathrm{~ d} t\right]=
$$
$$ \left.2 t\right|_{0} ^{1}-2 \arctan t \mid \frac{1}{1}=2-2\left(\frac{\pi}{4}-0\right) =
$$
$$
2-\frac{\pi}{2} \Rightarrow
$$
于是：
$$
I=-4\left[\ln 2-\left(2-\frac{\pi}{2}\right)\right] \Rightarrow
$$
$$
I=-4 \ln 2+8-2 \pi
$$